Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

338 задач
ГеометріяЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-038

Рівносторонній трикутник з коренями як абсцисами вершин

Рівносторонній трикутник лежить у декартовій площині так, що координати xx його вершин попарно різні й усі задовольняють рівняння x3−9x2+10x+5=0x^{3}-9 x^{2}+10 x+5=0. Обчисліть довжину сторони трикутника.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-040

Згинання трикутника з умовою про середину

Елісенда має аркуш паперу у формі трикутника з вершинами AA, BB і CC такого, що AB=42AB = 42. Вона вибирає точку DD на відрізку ACAC і згинає папір уздовж прямої BDBD так, що AA потрапляє в точку EE на відрізку BCBC. Потім вона згинає папір уздовж прямої DEDE. При цьому BB потрапляє в середину відрізка DCDC. Обчисліть периметр початкового розгорнутого трикутника.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-069

Відстань між центрами кіл за довжинами дотичних

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які не перетинаються. Припустімо, що виконуються такі три умови: - Довжина спільної внутрішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 1919. - Довжина спільної зовнішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 3737. - Якщо точки XX і YY вибрано на колах ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} відповідно рівномірно навмання, то математичне сподівання XY2XY^{2} дорівнює 20232023. Обчисліть відстань між центрами кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}.
10–11 класиЗастосування тригонометрії2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-013

Паралелограм з бісектрисою і серединою сторони

Нехай ABCDABCD — паралелограм такий, що бісектриса, проведена з BB, перетинає сторону CDCD у її середині MM. Сторона BCBC завдовжки 66, а діагональ ACAC завдовжки 1414. Знайдіть довжину AMAM. (A) 2192 \sqrt{19} (B) 14−3314-3 \sqrt{3} (C) 454 \sqrt{5} (D) 99 (E) 2222 \sqrt{22}
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-011

Бісектриса в прямокутному трикутнику

Нехай трикутник ABCABC прямокутний у вершині AA. Нехай DD — точка на стороні ACAC така, що BDBD є бісектрисою кута ∠ABC\angle ABC. Доведіть, що BC−BD=2ABBC - BD = 2AB тоді й лише тоді, коли 1BD−1BC=12AB\frac{1}{BD} - \frac{1}{BC} = \frac{1}{2AB}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-129

Прямокутник у колі з добутками хорд

Нехай ABCDABCD — прямокутник, вписаний у коло Γ\Gamma, а PP — точка на меншій дузі ABAB кола Γ\Gamma. Припустімо, що PA⋅PB=2PA \cdot PB = 2, PC⋅PD=18PC \cdot PD = 18 і PB⋅PC=9PB \cdot PC = 9. Площу прямокутника ABCDABCD можна записати у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де aa і cc — взаємно прості натуральні числа, а bb — вільне від квадратів натуральне число. Обчисліть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-079

Описане коло трикутника з вкладених многокутників

На площині рівносторонній трикутник ABCA B C, квадрат BCDEB C D E і правильний дванадцятикутник DEFGHIJKLMNOD E F G H I J K L M N O мають довжину сторони 11 і не накладаються один на одного. Знайдіть площу круга, описаного навколо трикутника △AFN\triangle A F N.
10–11 класиОписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-008

Проєкції та симетрії в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, нехай rr — внутрішня бісектриса гострого кута BAC^\widehat{BAC} і нехай KK — проєкція точки BB на пряму rr, LL — проєкція точки KK на пряму ABAB, а DD — симетрична точка до BB відносно LL. Нарешті позначимо через HH основу висоти трикутника ABCABC, проведеної з вершини BB. Доведіть, що: a. BH=2LKBH = 2 LK; b. Пряма KAKA ділить навпіл кут HKD^\widehat{HKD}; c. трикутник ADHADH рівнобедрений.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2021-012

Рівнобедрений трикутник і добуток основи на подвоєну висоту

Добуток довжин двох бічних (рівних) сторін тупокутного рівнобедреного трикутника дорівнює добутку основи і подвоєної висоти трикутника, проведеної до основи. Знайдіть величину кута при вершині цього трикутника (у градусах). (A) 105 (B) 120 (C) 135 (D) 150 (E) 165
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-011

Вписане в сектор коло, дотичне до півкола

Півколо радіуса 20212021 має діаметр ABAB і центр OO. Точки CC і DD лежать на півколі так, що ∠AOC<∠AOD=90∘\angle AOC < \angle AOD = 90^\circ. Коло радіуса rr вписано в сектор, обмежений радіусами OAOA та OCOC, і дотикається до півкола в точці EE. Якщо CD=CECD = CE, обчисліть ⌊r⌋\lfloor r \rfloor.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-107

Рівносторонній трикутник у вкладених квадратах

Нехай nn — відповідь до цієї задачі. Нехай квадрат ABCDABCD має довжину сторони 33. Тоді проведено конгруентні квадрати EHGFEHGF і IHJKIHJK, що не перетинаються, зі стороною n6\frac{n}{6} так, що AA, CC і HH колінеарні, EE лежить на стороні BCBC, а II лежить на стороні CDCD. Відомо, що AJGAJG — рівносторонній трикутник. Тоді площа трикутника AJGAJG дорівнює a+bca + b \sqrt{c}, де aa, bb, cc — натуральні числа, причому cc не ділиться на квадрат жодного простого числа. Знайдіть a+b+ca + b + c.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-074

Рівносторонній восьмикутник з умовами на кути

Нехай ABCDEFGHABCDEFGH — рівносторонній восьмикутник, у якого ∠A≅∠C≅∠E≅∠G\angle A \cong \angle C \cong \angle E \cong \angle G і ∠B≅∠D≅∠F≅∠H\angle B \cong \angle D \cong \angle F \cong \angle H. Якщо площа восьмикутника ABCDEFGHABCDEFGH утричі більша за площу чотирикутника ACEGACEG, то sin⁡B\sin B можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-083

Рівнокутний шестикутник у квадраті

OO — центр квадрата ABCDABCD, а MM і NN — середини BC‾\overline{BC} та AD‾\overline{AD} відповідно. Точки A′A', B′B', C′C', D′D' вибрано на AO‾\overline{AO}, BO‾\overline{BO}, CO‾\overline{CO}, DO‾\overline{DO} відповідно так, що A′B′MC′D′NA'B'MC'D'N — рівнокутний шестикутник. Відношення [A′B′MC′D′N][ABCD]\frac{[A'B'MC'D'N]}{[ABCD]} можна записати у вигляді a+bcd\frac{a+b\sqrt{c}}{d}, де a,b,c,da, b, c, d — цілі числа, dd — додатне, cc — вільне від квадратів, а НСД(a,b,d)=1\text{НСД}(a, b, d)=1. Знайдіть 1000a+100b+10c+d1000a+100b+10c+d.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-012

Сума кутів у трикутнику з рівними відрізками

У гострокутному трикутнику ABCABC точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно та задовольняють рівність BD=CEBD = CE. Точка PP лежить на відрізку DEDE, а точка QQ лежить на дузі BCBC, яка не містить AA, описаного кола трикутника ABCABC. Ці точки задовольняють рівність BP:PC=EQ:QDBP : PC = EQ : QD, причому точки A,B,C,D,E,P,QA, B, C, D, E, P, Q усі різні. Доведіть, що ∠BPC=∠BAC+∠EQD\angle BPC = \angle BAC + \angle EQD. Вище через XYXY позначено довжину відрізка XYXY.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-014

Тупий кут в описаному чотирикутнику

Діагоналі описаного чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP. Сторона ABAB довша за будь-яку іншу сторону чотирикутника ABCDABCD. Доведіть, що кут APBAPB тупий.
11 класЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-082

Відбиття інцентра і поділ відрізка навпіл

У трикутнику ABCABC, де AB=8AB=8 і AC=10AC=10, інцентр II відображено симетрично відносно сторони ABAB у точку XX та відносно сторони ACAC у точку YY. Відомо, що відрізок XYXY ділить AIAI навпіл. Обчисліть BC2BC^{2}. (Інцентр II — це центр вписаного кола трикутника ABCABC.)
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-101

Висоти трикутника EHF перетинаються на прямій BC

Висоти BEB E і CFC F гострокутного трикутника ABCA B C перетинаються в точці HH. Припустімо, що висоти трикутника EHFE H F перетинаються на прямій BCB C. Якщо AB=3A B = 3 і AC=4A C = 4, то BC2=abB C^{2} = \frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-045

Площа трикутника з дотичних до кола

Нехай ω1\omega_{1} — коло радіуса 55, а ω2\omega_{2} — коло радіуса 22, центр якого лежить на колі ω1\omega_{1}. Нехай два кола перетинаються в точках AA і BB, а дотичні до кола ω2\omega_{2} в точках AA і BB перетинаються в точці PP. Якщо площу △ABP\triangle ABP можна записати у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де bb — число, вільне від квадратів, а a,ca, c — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-048

Квадрати косинусів як сторони трикутника

У трикутнику ABCABC, AB=32AB = 32, AC=35AC = 35 і BC=xBC = x. Яке найменше натуральне число xx таке, що 1+cos⁡2A1 + \cos^2 A, cos⁡2B\cos^2 B і cos⁡2C\cos^2 C утворюють сторони невиродженого трикутника?
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-055

Вписаний чотирикутник з основами висот і серединами сторін

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а відрізки ACAC і BDBD перетинаються в точці EE. Нехай WW і YY — основи висот, проведених із точки EE на сторони DADA і BCBC відповідно, а XX і ZZ — середини сторін ABAB і CDCD відповідно. Відомо, що площа трикутника AEDAED дорівнює 99, площа трикутника BECBEC дорівнює 2525, а ∠EBC−∠ECB=30∘\angle EBC - \angle ECB = 30^{\circ}. Обчисліть площу чотирикутника WXYZWXYZ.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-008

Чотирикутник з бісектрисою кута та умовою на довжини

Нехай ABCDABCD — чотирикутник такий, що AC=BC+CDAC = BC + CD. Якщо ∠BCD=120∘\angle BCD = 120^{\circ}, CA‾\overline{CA} — бісектриса і AB=xAB = x, то як виразити BDBD через xx?
8–9 класиЗастосування тригонометрії
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-048

Коло на діагоналі квадрата

У квадраті ABCDA B C D точки MM і NN є внутрішніми точками сторін BCB C і CDC D так, що ∠MAN=45∘\angle M A N=45^{\circ}. Нехай OO — точка перетину кола, яке проходить через C,MC, M і NN, з відрізком ACA C. a) Доведіть, що OM=ONO M=O N. b) Доведіть, що OO є центром кола, яке проходить через A,MA, M і NN.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-010

Перетин хорди і діаметра

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO та радіусом rr, а ℓ\ell — пряма, яка не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через EE точку перетину прямої ℓ\ell з прямою, перпендикулярною до ℓ\ell, що проходить через OO. Нехай MM — точка прямої ℓ\ell, відмінна від EE. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені через MM, дотикаються до кола Γ\Gamma у точках AA і BB. Нарешті, нехай HH — точка перетину прямих ABAB і OEOE. Доведіть, що OH=r2OEOH = \dfrac{r^2}{OE}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-035

Відношення площ трикутників у правильному восьмикутнику

Нехай SS — множина всіх невироджених трикутників, утворених вершинами правильного восьмикутника зі стороною 11. Знайдіть відношення найбільшої площі будь-якого трикутника з множини SS до найменшої площі будь-якого трикутника з множини SS.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-138

Трикутник із серединою відрізка OH на стороні

У трикутнику ABCABC, де AB<ACAB < AC, нехай HH — ортоцентр, а OO — центр описаного кола. Відомо, що середина відрізка OHOH лежить на стороні BCBC, BC=1BC = 1, а периметр трикутника ABCABC дорівнює 66, знайдіть площу трикутника ABCABC.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.