Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-003

Гра на шестикутній сітці з видаленням та лінією

Нехай kk — додатне ціле число. Два гравці AA і BB грають у гру на нескінченній сітці з правильних шестикутників. Спочатку всі клітинки сітки порожні. Потім гравці по черзі роблять ходи, причому AA ходить першим. Своїм ходом AA може вибрати два сусідні порожні шестикутники в сітці та помістити в обидва фішку. Своїм ходом BB може вибрати будь-яку фішку на дошці та видалити її. Якщо в будь-який момент є kk послідовних клітинок сітки в ряд, усі з яких містять фішку, AA виграє. Знайдіть мінімальне значення kk, для якого AA не може виграти за скінченну кількість ходів, або доведіть, що такого мінімального значення не існує.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-004

Відстань між центром описаного кола та ортоцентром у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ортоцентром HH, і нехай PP — друга точка перетину описаного кола трикутника AHCAHC з внутрішньою бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC. Нехай XX — центр описаного кола трикутника APBAPB, а YY — ортоцентр трикутника APCAPC. Доведіть, що довжина відрізка XYXY дорівнює радіусу описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-003

Описані кола перетинаються на стороні трикутника

Нехай GG — точка перетину медіан прямокутного трикутника ABCABC, у якому ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ. Нехай PP — точка на промені AGAG така, що ∠CPA=∠CAB\angle CPA = \angle CAB, а QQ — точка на промені BGBG така, що ∠CQB=∠ABC\angle CQB = \angle ABC. Доведіть, що описані кола трикутників AQGAQG і BPGBPG перетинаються в точці на стороні ABAB.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-004

Сума виразів з мінімумом і параметром

Нехай nn — натуральне число. Для будь-якого натурального числа jj і додатного дійсного числа rr визначимо fj(r)f_j(r) і gj(r)g_j(r) як fj(r)=min⁡(jr,n)+min⁡(jr,n),іgj(r)=min⁡(⌈jr⌉,n)+min⁡(⌈jr⌉,n),f_j(r) = \min(jr, n) + \min\left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text{і} \quad g_j(r) = \min(\lceil jr \rceil, n) + \min\left(\left\lceil \frac{j}{r} \right\rceil, n\right), де ⌈x⌉\lceil x \rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx. Доведіть, що ∑j=1nfj(r)≤n2+n≤∑j=1ngj(r)\sum_{j=1}^{n} f_j(r) \le n^2 + n \le \sum_{j=1}^{n} g_j(r) для всіх додатних дійсних чисел rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-005

Суми з мінімумами та верхніми цілими частинами

Нехай nn — натуральне число. Для будь-якого натурального числа jj і додатного дійсного числа rr визначимо fj(r)=min⁡(jr,n)+min⁡(jr,n),іgj(r)=min⁡(⌈jr⌉,n)+min⁡(⌈jr⌉,n),f_{j}(r)=\min (j r, n)+\min \left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text{і} \quad g_{j}(r)=\min (\lceil j r\rceil, n)+\min \left(\left\lceil\frac{j}{r}\right\rceil, n\right), де ⌈x⌉\lceil x\rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx. Доведіть, що ∑j=1nfj(r)≤n2+n≤∑j=1ngj(r)\sum_{j=1}^{n} f_{j}(r) \leq n^{2}+n \leq \sum_{j=1}^{n} g_{j}(r)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-006

Відображення, дотичне до описаного кола

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Нехай точка PP на стороні ABAB така, що ∠BOP=∠ABC\angle BOP = \angle ABC, а точка QQ на стороні ACAC така, що ∠COQ=∠ACB\angle COQ = \angle ACB. Доведіть, що відображення прямої BCBC відносно прямої PQPQ дотикається до описаного кола трикутника APQAPQ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-002

Рівнокутний шестикутник та суми протилежних сторін

Розглянемо шестикутники, у яких усі внутрішні кути рівні. (i) Доведіть, що для будь-якого такого шестикутника сума довжин будь-яких двох сусідніх сторін дорівнює сумі довжин протилежних їм сторін. (ii) Чи існує такий шестикутник зі сторонами 1, 2, 3, 4, 5 і 6 у деякому порядку?
9 класКути багатокутника. Зовнішні кути3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-017

Розбиття правильного многокутника на правильні многокутники

Для яких натуральних чисел n≥3n \ge 3 можна розрізати правильний nn-кутник на менші частини, що мають форму правильних многокутників? (Частини можуть мати різну кількість сторін.)
11 класРозрізання, покриття та замощення
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-020

Сума четвертих степенів дорівнює 2013

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого існують цілі числа a1,…,ana_1, \dots, a_n (не обов’язково різні) такі, що a14+⋯+an4=2013a_1^4 + \dots + a_n^4 = 2013.
11 класМіркування за модулем
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-018

Ромб із двома рівносторонніми трикутниками

Малле накреслила ромб ABCDABCD і вибрала точки EE і FF на сторонах ABAB і BCBC відповідно так, щоб трикутник DEFDEF був рівностороннім. Малле дуже здивувалася, коли виявила, що існує інша можливість вибрати точки EE і FF на сторонах ABAB і BCBC відповідно так, щоб трикутник DEFDEF був рівностороннім. Якими можуть бути величини кутів цього ромба? Рисунок 17
11 класПоворот2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-019

Шахове розфарбування відбиттями квадратів 2×2

На клітинній дошці 2n×2n2n \times 2n рівно половина клітинок пофарбована в чорний колір, а друга половина — у білий. За один хід можна взяти деякий квадрат 2×22 \times 2 у цій дошці та відобразити його чотири клітинки симетрично відносно горизонтальної або вертикальної центральної осі. Для яких натуральних чисел nn можна з будь-якої початкової конфігурації дійти до стану, коли вся дошка пофарбована шаховим чином?
11 класНапівінваріанти
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-008

Розстановка знаків з умовою про кратні

Числа 1,…,2001, \dots, 200 написані на дошці в один рядок. Юку має написати перед кожним числом знак плюс або мінус так, щоб для будь-якого натурального числа n≤100n \le 100 саме число та одне з його кратних мали різні знаки. Перед якими числами він має поставити знак мінус, щоб отримати максимально можливе значення виразу?
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-012

Точка з рівними кутами в рівнобедреному прямокутному трикутнику

У рівнобедреному прямокутному трикутнику ABCABC прямий кут при вершині CC. На стороні ACAC вибрано точки KK, LL, а на стороні BCBC — точки MM, NN так, що вони ділять відповідну сторону на три рівні частини. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC існує рівно одна точка PP така, що ∠KPL=∠MPN=45∘\angle KPL = \angle MPN = 45^\circ.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-020

Сума p(p+1) + q(q+1) у вигляді n(n+1)

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують прості числа pp і qq такі, що p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)p(p+1) + q(q+1) = n(n+1).
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-024

Три внутрішні кола і відрізки BC, CA, AB

Всередині кола cc містяться кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3, які дотикаються до кола cc у точках AA, BB і CC відповідно, причому всі ці точки різні. Кола c2c_2 і c3c_3 мають спільну точку KK на відрізку BCBC, кола c3c_3 і c1c_1 мають спільну точку LL на відрізку CACA, а кола c1c_1 і c2c_2 мають спільну точку MM на відрізку ABAB. Доведіть, що кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3 перетинаються в центрі кола cc.
10–11 класиДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-026

Унікальні номери в турах жеребкування

20 учнів поїхали на екскурсію. Усі вони хотіли піднятися на верхівку маяка, але на маяк одночасно дозволялося підніматися лише одній людині. Порядок підйому визначався жеребкуванням так, що спочатку кожному учневі випадково призначають число від 1 до 20 (так, що жодне число не повторюється). Той, хто отримує найменше число, піднімається на маяк першим. У наступному турі решті учнів випадково призначають числа від 1 до 19, і той, хто отримує найменше число, піднімається на маяк наступним. Цей процес повторюється, доки всі учні не піднімуться на маяк. Через дивний збіг жоден учень не отримав те саме число більше ніж один раз. Міку в першому турі отримав число 14. Знайдіть усі можливі числа, які Міку міг отримати в 9-му турі.
10–11 класиМетод математичної індукції
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-028

Приписування чисел дає повний квадрат

Нехай aa і bb — натуральні числа такі, що bb ділиться на aa і запис чисел aa і bb одне за одним у цьому порядку дає (a+b)2(a+b)^2. Доведіть, що ba=6\frac{b}{a} = 6.
10–11 класиСистеми числення
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-032

Коло через точки на хорді перетину

Кола c1,c2c_1, c_2 з центрами O1,O2O_1, O_2 відповідно перетинаються в точках PP і QQ та дотикаються до кола cc зсередини в точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Пряма PQPQ перетинає коло cc в точках BB і DD. Прямі A1BA_1B і A1DA_1D перетинають коло c1c_1 вдруге в точках E1E_1 і F1F_1 відповідно, а прямі A2BA_2B і A2DA_2D перетинають коло c2c_2 вдруге в точках E2E_2 і F2F_2 відповідно. Доведіть, що E1,E2,F1,F2E_1, E_2, F_1, F_2 лежать на колі, центр якого збігається із серединою відрізка O1O2O_1O_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-022

Діофантове рівняння з різними показниками степенів

Доведіть, що рівняння a3+b5+c7+d11=e13a^{3}+b^{5}+c^{7}+d^{11}=e^{13} має нескінченно багато розв’язків у натуральних числах.
8–10 класиЗаміни в однорідних виразах
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-026

Квадрат, утворений центрами трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний рівнобедрений трикутник з прямим кутом при BB. Нехай MM — точка дуги ACAC кола з центром BB, що проходить через AA і CC, HH — її ортогональна проєкція на пряму (AB)(AB). Позначимо через II центр кола, вписаного в трикутник BHMBHM, а через JJ — центр кола, зовнівписаного при куті BB (JJ — це перетин внутрішньої бісектриси при BB із зовнішніми бісектрисами при HH і MM). Доведіть, що чотирикутник MIAJMIAJ — квадрат.
9–11 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-027

Рівновіддаленість середини у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, L=(AC)∩(BD)L = (AC) \cap (BD), JJ і KK — основи перпендикулярів до прямих (AD)(AD) і (BC)(BC) відповідно, проведених через LL, а II — середина відрізка [C,D][C, D]. Доведіть, що IJ=IKIJ = IK.
9–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-055

Сума дробів 1/(1+a²+(b+1)²) при abc=1

Доведіть, що для всіх додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c таких, що abc=1a b c=1, виконується 11+a2+(b+1)2+11+b2+(c+1)2+11+c2+(a+1)2⩽12\frac{1}{1+a^{2}+(b+1)^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}+(c+1)^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}+(a+1)^{2}} \leqslant \frac{1}{2}
9–11 класиНерівність Коші
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-041

Максимум суми відстаней до вершин чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Для кожної точки MM всередині або на межі чотирикутника ABCDABCD покладемо f(M)=MA+MB+MC+MD.f(M) = MA + MB + MC + MD. Доведіть, що для кожної точки MM маємо f(M)⩽max⁡(f(A),f(B),f(C),f(D))f(M) \leqslant \max(f(A), f(B), f(C), f(D))
9–11 класиНерівність трикутника
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-037

Точки на одному колі з рівних відрізків

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через OO центр його описаного кола. Нехай DD, EE, FF — точки, що лежать на сторонах [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB] відповідно. Припустимо, що FB=FDFB = FD і ED=ECED = EC. Коло з центром FF і радіусом FBFB та коло з центром EE і радіусом ECEC перетинаються вдруге в точці GG. Доведіть, що AA, FF, OO, EE, GG лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-039

Відношення сум √(n+√k) і √(n−√k) від 0 до n²

Доведіть, що якщо nn — натуральне число, вираз n+0+n+1+n+2+⋯+n+n2−1+n+n2n−0+n−1+n−2+⋯+n−n2−1+n−n2\frac{\sqrt{n+\sqrt{0}}+\sqrt{n+\sqrt{1}}+\sqrt{n+\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{n+\sqrt{n^{2}-1}}+\sqrt{n+\sqrt{n^{2}}}}{\sqrt{n-\sqrt{0}}+\sqrt{n-\sqrt{1}}+\sqrt{n-\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{n-\sqrt{n^{2}-1}}+\sqrt{n-\sqrt{n^{2}}}} не залежить від nn.
9–11 класиПеретворення ірраціональних вираз…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.