Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-004

Спільні хобі серед груп учнів

Нехай mm — ціле число, m≥2m \ge 2. Кожен учень у школі займається щонайбільше mm хобі. Серед будь-яких mm учнів знайдуться двоє учнів, які мають спільне хобі. Знайдіть найменшу кількість учнів, за якої обов'язково знайдеться хобі, яким займаються принаймні 3 учні.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-002

Співвідношення Ейлера для зрізаного куба

Франсішку щойно вивчив на уроці стереометрії співвідношення Ейлера для опуклих многогранників: V+F=A+2V+F=A+2 У наведеній вище рівності VV, AA і FF позначають кількість вершин, ребер і граней многогранника відповідно. Можна перевірити, що співвідношення Ейлера справджується для зображеного нижче куба, оскільки він має 6 граней, 12 ребер, 8 вершин і V+F=8+6=12+2=A+2V+F=8+6=12+2=A+2 Франсішку вирішив перевірити співвідношення Ейлера на іншому многограннику, отриманому з дерев'яного куба. Він позначив середини кожного ребра і на кожній грані з'єднав їх, утворивши квадрати, як показано на рисунку нижче. Потім він відрізав 8 пірамід, утворених навколо кожної вершини, отримавши новий многогранник. Визначте: а) нову кількість вершин; б) нову кількість ребер; в) нову кількість граней.
Планарні графи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-007

Тупокутні трикутники з малими цілими сторонами

Для трикутника зі сторонами a≤b≤ca \leq b \leq c за теоремою косинусів маємо: cos⁡C^=a2+b2−c22ab\cos \hat{C}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} Якщо кут C^\hat{C} тупий, cos⁡C^<0\cos \hat{C}<0. Оскільки 2ab2 a b додатне, це те саме, що a2+b2−c2<0a^{2}+b^{2}-c^{2}<0. Тому, щоб трикутник був тупокутним, квадрат найбільшої сторони має бути більшим за суму квадратів двох інших сторін. Крім того, за нерівністю трикутника знаємо, що найбільша сторона менша за суму двох інших. Ці дві умови можна об'єднати в нерівності a2+b2<c2<(a+b)2a^{2}+b^{2}<c^{2}<(a+b)^{2} Скільки тупокутних трикутників можна утворити з цілими додатними сторонами, меншими за 7? Зауваження: Вважайте, що два трикутники з однаковими довжинами сторін, але в різному порядку, являють собою той самий трикутник.
Метод оцінок, що веде до малого п…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-008

Неперетинні множини смаків морозива

Педру вирішив повести всіх своїх дітей, хлопчиків і дівчаток, у морозивницю «Математичне морозиво» поласувати морозивом. У морозивниці є 12 різних смаків морозива, і кожна дитина замовила комбо з 3 кульок морозива. Після виходу з морозивниці Педру помітив, що загалом було замовлено рівно по дві кульки кожного наявного смаку. a) Скільки всього дітей (дівчаток і хлопчиків) у Педру, якщо сам він морозива не їв? b) Педру уважніше придивився до смаків, які замовив кожен, і помітив, що жоден смак не був замовлений і хлопчиком, і дівчинкою, тобто якщо хлопчик обрав якийсь смак, то жодна дівчинка той самий смак не обирала. Знаючи, що принаймні один з його дітей — хлопчик і що доньок у нього більше, ніж синів, визначте кількість його доньок.
Парність та непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-014

Підрахунок добутків при розкритті дужок

Розгляньмо рівність: (1+2+3+4)2=(1+2+3+4)(1+2+3+4)=1⋅1+1⋅2+1⋅3+1⋅4+2⋅1+2⋅2+2⋅3+2⋅4++3⋅1+3⋅2+3⋅3+3⋅4+4⋅1+4⋅2+4⋅3+4⋅4\begin{aligned} (1+2+3+4)^{2} & =(1+2+3+4)(1+2+3+4) \\ & =1 \cdot 1+1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 4+2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3+2 \cdot 4+ \\ & +3 \cdot 1+3 \cdot 2+3 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 1+4 \cdot 2+4 \cdot 3+4 \cdot 4 \end{aligned} Зауважмо, що при обчисленні (1+2+3+4)2(1+2+3+4)^{2} з використанням розподільної властивості утворюється 4×4=164 \times 4=16 добутків. а) Скільки добутків утвориться при обчисленні (1+2+3+4)3(1+2+3+4)^{3} також з використанням розподільної властивості? б) Яка кількість двоцифрових чисел, які використовують лише цифри 1, 2, 3 і 4? в) Яка сума добутків цифр усіх чотирицифрових чисел, складених лише з цифр 1,2,31,2,3 і 4?
Правила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-016

Гра з подільністю суми на 3

Арнальдо та Бернальдо вирішили зіграти в гру, яка має обмежену кількість ходів. Першим ходом Арнальдо пише на дошці число 1. Далі Бернальдо пише на дошці 2 або 4. Після цього Арнальдо пише на дошці 3 або 9. Далі вони продовжують грати по черзі, дотримуючись правила, що на ході nn гравець пише на дошці nn або n2n^{2}. Арнальдо перемагає в грі, якщо після останнього ходу сума чисел на дошці ділиться на 3. Якщо сума не ділиться на 3, то перемагає Бернальдо. a) Припустімо, що гра закінчується на ході номер 15. Доведіть, що Бернальдо може гарантувати собі перемогу. b) Припустімо, що гра закінчується на ході номер 7. У цьому випадку який із двох гравців зможе завжди гарантувати собі перемогу незалежно від того, як гратиме його суперник? Як він має грати, щоб перемогти?
Виграшні та програшні позиції: ан…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-018

Вільні від квадратів числа та кількість дільників

Нехай nn — натуральне число. Якщо для кожного простого дільника pp числа nn число p2p^{2} не ділить nn, то кажемо, що nn вільне від квадратів. Доведіть, що кожне вільне від квадратів число має кількість дільників, що дорівнює степеню двійки.
Кількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-024

Найбільша кількість одиниць операціями НСД і НСК

На дошці записано 2014 натуральних чисел від 1 до 2014. Дозволена операція — вибрати два числа aa і bb, стерти їх і записати на їхнє місце числа НСД(a,b)\text{НСД}(a, b) (найбільший спільний дільник) і НСК(a,b)\text{НСК}(a, b) (найменше спільне кратне). Цю операцію можна виконувати з будь-якими двома числами, що є на дошці, зокрема з числами, отриманими внаслідок попередніх операцій. Визначте найбільшу кількість чисел 1, яку можна залишити на дошці.
Парність і непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-028

Непарні квадрати за модулем 8 і послідовність

Числа, які є квадратами додатних цілих чисел, називаються повними квадратами; наприклад, 16 — повний квадрат, бо дорівнює 424^{2}. Цікавим фактом є те, що повні квадрати дають лише остачі 0 або 1 при діленні на 4. Завдяки цьому можна довести, наприклад, що 2014 не є повним квадратом, бо 2014 дає остачу 2 при діленні на 4. a) Знаючи, що кожне непарне ціле число має вигляд 2k+12k+1, покажіть, що непарні повні квадрати дають остачу 1 при діленні на 8. b) Чи можна розставити 45 непарних цілих чисел у послідовність так, щоб сума будь-яких 5 послідовних і будь-яких 9 послідовних чисел була повним квадратом?
Міркування за модулем
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-030

Шаховий турнір і загальна кількість очок

У шаховому турнірі всі гравці зіграли один з одним рівно один раз. У кожній партії гравець здобуває 1 очко, якщо перемагає, 1/21/2, якщо грає внічию, і 0 очок, якщо програє. Наприкінці турніру репортер додав очки всіх гравців і отримав 190 очок. У турнірі такого типу переможцем є той, хто набирає найбільше очок. a) Скільки гравців брали участь у турнірі? b) Андре брав участь у турнірі й набрав 9 очок. Покажіть, що, навіть не знаючи інших результатів, Андре не був переможцем турніру.
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-032

Послідовність цифр з правилом останньої цифри суми

Цікава властивість числа 2013 полягає в тому, що 3 — це остання цифра суми 2+0+12+0+1. Повторюючи цей процес, тобто дописуючи справа останню цифру суми трьох попередніх цифр, отримаємо послідовність: 2,0,1,3,4,8,5,7…2,0,1,3,4,8,5,7 \ldots а) Доведіть, що, починаючи з послідовності 2,0,1 у такому порядку, можна також знайти три послідовні числа 1,2,21,2,2, у такому порядку. б) Зауважте, що якщо послідовність із трьох послідовних чисел з’явиться знову в тому самому порядку, то вся послідовність «повторюватиметься» далі. Наприклад, наведена нижче послідовність не є послідовністю з умови, але повторюється кожні чотири числа: …124312431243…12431243…‾\ldots \underline{124312431243 \ldots 12431243 \ldots} Перевірте, що якась послідовність із трьох цифр повторюється в послідовності з умови. в) Припустімо, що при першій появі «a,b,ca, b, c» у послідовності число безпосередньо перед нею дорівнює xx, а при другій її появі дорівнює yy, тобто в послідовності зустрінуться числа в такому порядку: …,x,a,b,c,…,y,a,b,c…\ldots, x, a, b, c, \ldots, y, a, b, c \ldots Покажіть, що x=yx=y. г) Знаючи, що 1,2,2 з’явилося в послідовності, у такому порядку, покажіть, що зрештою знову з’явиться послідовність цифр 2,0,12,0,1, також у такому порядку.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-033

Змійки на клітчастій площині та різниця сум координат

Аркуш альбому для малювання Жоау — це величезна клітчаста декартова площина. Один з його улюблених малюнків — це створення змійок, що покривають сторони квадратиків, за допомогою ручки. По суті, змійка — це послідовність з 2n2n різних точок P1,P2,…,P2nP_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2n}, вибраних у вершинах квадратиків дошки так, що точки з послідовними індексами лежать на стороні одного й того ж квадратика дошки. Наприклад, на рисунку нижче маємо змійку, що сполучає такі точки декартової площини: P1=(0,0),P2=(1,0),P3=(1,1),P4=(1,2),P5=(2,2),P6=(2,3)P7=(3,3),P8=(4,3),P9=(4,4),P10=(5,4),P11=(6,4),P12=(6,5)\begin{aligned} & P_{1}=(0,0), \quad P_{2}=(1,0), \quad P_{3}=(1,1), \quad P_{4}=(1,2), \quad P_{5}=(2,2), \quad P_{6}=(2,3) \\ & P_{7}=(3,3), \quad P_{8}=(4,3), \quad P_{9}=(4,4), \quad P_{10}=(5,4), \quad P_{11}=(6,4), \quad P_{12}=(6,5) \end{aligned} Намалювавши змійки на дошці, Жоау любить обчислювати суму координат точок з непарними індексами, тобто точок P1,P3,…,P2n−1P_{1}, P_{3}, \ldots, P_{2n-1}, і віднімати від цього числа суму координат точок з парними індексами, тобто точок P2,P4,…,P2nP_{2}, P_{4}, \ldots, P_{2n}. a) Для n=3n=3, тобто з 6 точок, намалюйте «змійки», для яких результат, отриманий Жоау, дорівнює −1,−3-1, -3, 11 і 33. b) Залежно від nn, які можливі значення може отримати Жоау? Зауваження: «Змійка» може також містити точки з від'ємними координатами, достатньо, щоб вона «рухалася» ліворуч від осі yy або вниз від осі xx.
Парність і непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2013-002

Замощення L-триміно меншими триміно

Триміно розміру nn визначимо як фігуру, що утворюється, коли з квадрата 2n×2n2n \times 2n видаляють один квадрант. На рисунку нижче ліворуч зображено триміно розміру 1, а праворуч — триміно розміру 2. Кажемо, що фігуру можна замостити триміно розміру 1, якщо можна покрити всю площу фігури — і жодної зайвої площі — триміно розміру 1, які не перекриваються. Наприклад, прямокутник 2×32 \times 3 можна замостити триміно розміру 1, як показано нижче, а квадрат 3×33 \times 3 замостити триміно розміру 1 не можна. а) Чи можна замостити триміно розміру 5 триміно розміру 1? б) Чи можна замостити триміно розміру 2013 триміно розміру 1? Обґрунтуйте відповіді.
Розрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2013-005

Середнє медіан рядків у таблиці цифр

Розглянемо прямокутну таблицю цифр di,jd_{i, j} з 10 рядками та 7 стовпцями, таку, що di+1,j−di,jd_{i+1, j}-d_{i, j} завжди дорівнює 1 або -9 для всіх 1≤i≤91 \leq i \leq 9 і всіх 1≤j≤71 \leq j \leq 7, як у прикладі нижче. Для 1≤i≤101 \leq i \leq 10 нехай mim_{i} — медіана чисел di,1,…,di,7d_{i, 1}, \ldots, d_{i, 7}. Знайдіть найменше та найбільше можливі значення середнього арифметичного чисел m1,m2,…,m10m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{10}. Приклад: | | di,1d_{i, 1} | di,2d_{i, 2} | di,3d_{i, 3} | di,4d_{i, 4} | di,5d_{i, 5} | di,6d_{i, 6} | di,7d_{i, 7} | mim_{i} | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | i=1i=1 | 2 | 7 | 5 | 9 | 5 | 8 | 6 | медіана 6 | | i=2i=2 | 3 | 8 | 6 | 0 | 6 | 9 | 7 | медіана 6 | | i=3i=3 | 4 | 9 | 7 | 1 | 7 | 0 | 8 | медіана 7 | | i=4i=4 | 5 | 0 | 8 | 2 | 8 | 1 | 9 | медіана 5 | | i=5i=5 | 6 | 1 | 9 | 3 | 9 | 2 | 0 | медіана 3 | | i=6i=6 | 7 | 2 | 0 | 4 | 0 | 3 | 1 | медіана 2 | | i=7i=7 | 8 | 3 | 1 | 5 | 1 | 4 | 2 | медіана 3 | | i=8i=8 | 9 | 4 | 2 | 6 | 2 | 5 | 3 | медіана 4 | | i=9i=9 | 0 | 5 | 3 | 7 | 3 | 6 | 4 | медіана 4 | | i=10i=10 | 1 | 6 | 4 | 8 | 4 | 7 | 5 | медіана 5 |
Інші інваріанти2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2013-013

Магічний куб з неповторними числами на ребрах

На кожному ребрі куба написано число. Куб називається магічним, якщо: (i) Для кожної грані чотири ребра навколо неї мають однакову суму. (ii) Для кожної вершини три ребра, що сходяться в ній, мають однакову суму. (Суми для граней і для вершин можуть бути різними.) Визначте, чи існує магічний куб, який використовує (a) числа від 1 до 12, кожне рівно один раз; (b) числа від 1 до 13, кожне не більше одного разу.
Підрахунок двома способами
Математичний гурток БеркліBMC-2013-002

Підмножина цілих чисел з малими різницями

Числа від 11 до 100100 записані кожне на окремій картці, і всі 100100 карток перемішано в капелюсі. З капелюха навмання витягують двадцять шість карток. Доведіть, що серед витягнутих чисел знайдуться два, різниця яких дорівнює 11, 22 або 33.
Принцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2013-014

Різні добутки в таблиці множення

Означимо таблицю множення як прямокутну таблицю, в якій кожен рядок позначено різним натуральним числом, кожен стовпець позначено різним натуральним числом, а кожну клітинку позначено добутком чисел її рядка та стовпця, наприклад: | ×\times | 2 | 6 | 4 | 3 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 4 | 12 | 8 | 6 | | 1 | 2 | 6 | 4 | 3 | | 3 | 6 | 18 | 12 | 9 | Наведена вище таблиця має розмір 3×43 \times 4, але містить лише 8 різних добутків. Яка найменша можлива кількість різних добутків у таблиці множення розміром 2012×20122012 \times 2012?
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-004

Максимум виразу з одиниць, плюсів і дужок

(111⋯1)\left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end{array}\right) написано на дошці, причому між зовнішніми дужками стоїть 2013 одиниць. Між кожною парою сусідніх одиниць можна написати або «+», або «)(» (залишати проміжок порожнім не можна). Яке найбільше можливе значення одержаного виразу?
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-007

Многочлен із коефіцієнтами 1 і -1, кратний високому степеню

З'ясуйте, чи існує многочлен f(x)f(x) такий, що - кожен коефіцієнт многочлена ff, від старшого коефіцієнта до вільного члена, дорівнює або 11, або −1-1. - (x−1)2013(x-1)^{2013} ділить f(x)f(x) націло (тобто їхня частка є многочленом).
Конструкція за індукцією
Математичний гурток БеркліBMC-2013-009

Максимальна часткова сума обмеженої послідовності

Нехай a1,a2,…,a2013a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2013} — дійсні числа, які задовольняють такі умови: - a1=a2013=0a_{1}=a_{2013}=0 - ∣ai−ai+1∣<1|a_{i}-a_{i+1}|<1 для 1≤i≤20121 \leq i \leq 2012. - ∑i=12013ai=0\sum_{i=1}^{2013} a_{i}=0. Знайдіть найбільше можливе значення суми ∑i=1mai\sum_{i=1}^{m} a_{i}, де mm (1≤m≤20131 \leq m \leq 2013) може змінюватися разом із послідовністю {ai}\{a_{i}\}.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-018

Щасливі многочлени з коефіцієнтами з одиничного проміжку

Многочлен f(x)=∑i=0naixif(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} степеня не вище nn називається щасливим, якщо (i) Кожен коефіцієнт aia_{i} задовольняє 0≤ai<10 \leq a_{i}<1; (ii) f(x)f(x) є цілим числом для всіх цілих xx. Знайдіть кількість щасливих многочленів степеня не вище nn.
Інтерполяційні многочлени
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-027

Перестановки шести працівників

У лікарні працюють такі співробітники: Сара Дорес да Коста: ревматолог Іна Лемос: пульмонолог Естер Еліза: медсестра Ема Томас: травматолог Ана Ліза: психоаналітик Інасіо Фільйо: акушер а) Скількома способами співробітники можуть стати в чергу? б) Скількома способами ці самі співробітники можуть сісти за круглий стіл? Пам'ятайте, що за круглим столом, якщо всі пересядуть на стілець ліворуч, стіл залишається тим самим! в) А скількома способами співробітники можуть утворити комісію, що складається з голови, заступника голови та запасного члена?
Перестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-028

Підрахунок чисел із цифрами один і два по одному разу

Педру написав список усіх додатних цілих чисел, менших за 1000010000, у яких кожна з цифр 11 і 22 трапляється рівно один раз. Наприклад, 12341234, 231231, 102102 було записано до списку, а 11021102 і 235235 до списку не входять. Скільки чисел у списку, написаному Педру?
Правила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-029

Стрибки блохи на прямій

Блоха, що перебуває в точці AA прямої, стрибає щоразу рівно на 1 м1~\text{м}, ніколи не сходячи з цієї прямої. а) Якщо блоха хоче потрапити в точку BB, розташовану на прямій, на відстані 5 м5~\text{м} праворуч від AA, рівно за 7 стрибків, то скількома способами вона може це зробити? б) Якщо блоха хоче потрапити в точку CC, розташовану на прямій, на відстані 5 м5~\text{м} праворуч від AA, рівно за 9 стрибків, то скількома способами вона може це зробити? в) Чи можливо, щоб блоха потрапила в точку DD, розташовану на прямій на відстані 2013 м2013~\text{м} від AA, рівно за 2028 стрибків? Обґрунтуйте.
Комбінації
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-041

Номерні знаки за умовами на цифри

У місті Автоландія нумерація автомобільних номерів здійснюється трицифровими числами, тобто від номера 000 до номера 999. Щоб зменшити забруднення, мер П'єтро вирішив запровадити почергове користування автомобілями, встановивши дні, у які люди можуть користуватися своїми автомобілями. Правила такі: - Понеділок: лише автомобілі з непарним номером; - Вівторок: лише автомобілі, у яких сума трьох цифр більша або дорівнює 11; - Середа: лише автомобілі, номер яких кратний 3; - Четвер: лише автомобілі, у яких сума трьох цифр менша або дорівнює 14; - П'ятниця: лише автомобілі, номер яких містить принаймні дві однакові цифри; - Субота: лише автомобілі, номер яких строго менший за 500; - Неділя: лише автомобілі, усі три цифри номера яких менші або дорівнюють 5. а) У які дні може їздити автомобіль з номером 729? б) Марія, дружина мера, хоче автомобіль, який може їздити щодня, крім неділі. Який номер вона повинна мати? в) Меру П'єтро потрібен номер, який дозволить йому їздити щодня. Який номер він повинен мати? г) Чому всі жителі Автоландії можуть їздити принаймні раз на тиждень?
Розбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.