Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

83 задачі
АлгебраЧисла Фібоначі
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-009

Гострокутний трикутник з обмеженої послідовності

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3 такі, що якщо a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа, для яких max⁡(a1,…,an)⩽n⋅min⁡(a1,…,an)\max \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \leqslant n \cdot \min \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), то серед цих чисел обов’язково знайдуться три, які є довжинами сторін гострокутного трикутника, тобто трикутника, усі три кути якого строго гострі.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-114

Математичне сподівання після випадкових операцій

У Рейчел у руках число 10001000. Коли вона кладе число xx у ліву кишеню, число змінюється на x+1x+1. Коли вона кладе число xx у праву кишеню, число змінюється на x−1x^{-1}. Щохвилини вона підкидає чесну монету. Якщо випадає герб, вона кладе число в ліву кишеню, а якщо випадає решка, вона кладе його в праву кишеню. Потім вона дістає нове число з кишені. Якщо математичне сподівання числа в руках у Рейчел після восьми хвилин дорівнює EE, то обчисліть ⌊E10⌋\left\lfloor\frac{E}{10}\right\rfloor.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-049

Мінімальний кут при додаванні векторів

Кевін починає з векторів (1,0)(1,0) і (0,1)(0,1) і на кожному кроці замінює один із векторів на їхню суму. Знайдіть котангенс найменшого можливого кута між векторами після 8 кроків.
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-050

Період чисел Фібоначчі за модулем 127

Послідовність Фібоначчі визначається так: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для всіх цілих чисел n≥2n \geq 2. Знайдіть найменше натуральне число mm таке, що Fm≡0(mod127)F_{m} \equiv 0 \pmod{127} і Fm+1≡1(mod127)F_{m+1} \equiv 1 \pmod{127}.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-008

Числа Фібоначчі з фіксованою кількістю цифр

Послідовність чисел Фібоначчі F1,F2,…,Fn,…F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}, \ldots така, що F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1 і що n-й член ( n≥3n \geq 3) дорівнює сумі двох попередніх (отже перші члени послідовності — F1=1,F2=1,F3=2=1+1,F4=3=2+1,F5=5=3+2F_{1}=1, F_{2}=1, F_{3}=2=1+1, F_{4}=3=2+1, F_{5}=5=3+2). Скільки існує чисел Фібоначчі, які мають рівно 2016 цифр у своєму десятковому записі? (A) Щонайменше 2 і щонайбільше 3 (B) Щонайменше 4 і щонайбільше 5 (D) Щонайменше 8 і щонайбільше 9 (E) 10 або більше (C) Щонайменше 6 і щонайбільше 7
10–11 класиЧисла Фібоначі
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-015

Експоненційне зростання чисел Фібоначчі

Винахідник показав королю нову захопливу настільну гру на клітинній дошці 9×109 \times 10. Король пообіцяв винагородити його одним рисовим зерном за першу клітинку, одним рисовим зерном за другу клітинку, а за кожну наступну клітинку — такою кількістю зерен, як за дві попередні клітинки разом. Доведіть, що за останню клітинку винахідник отримає щонайменше 201542015^4 зерен.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Відбіркові тести на IMOTST-2014-038

Змушені члени послідовності з цілими частинами

Скінченну послідовність цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n називають регулярною, якщо існує дійсне число xx, яке задовольняє ⌊kx⌋=akдля 1≤k≤n.\lfloor kx \rfloor = a_k \quad \text{для } 1 \le k \le n. Для регулярної послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, при 1≤k≤n1 \le k \le n кажемо, що член aka_k є змушеним, якщо виконано таку умову: послідовність a1,a2,…,ak−1,ba_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b є регулярною тоді й лише тоді, коли b=akb = a_k. Знайдіть найбільшу можливу кількість змушених членів у регулярній послідовності з 1000 членів.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-122

Підрядок у десятковому записі та відношення з НСД

Нехай NN — натуральне число, десятковий запис якого містить 1123511235 як неперервний підрядок, і нехай kk — натуральне число таке, що 10k>N10^{k} > N. Знайдіть найменше можливе значення 10k−1НСД(N,10k−1)\frac{10^{k}-1}{\text{НСД}\left(N, 10^{k}-1\right)}
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-013

Підрахунок незвичайних шляхів у діаграмі

Розглянемо діаграму, зображену нижче: Аугушту любить рахувати шляхи, що починаються в деякій точці, приходять у точку AA і ніколи не проходять через одну й ту саму вершину двічі. Для цього він зображує шлях послідовністю точок, які відвідує шлях. Наприклад, пунктирний шлях на рисунку нижче зображується послідовністю DCBAD C B A. Аугушту називає шлях незвичайним, якщо послідовність, що зображує цей шлях, упорядкована у зворотному алфавітному порядку. Іншими словами, шлях є незвичайним, якщо він ніколи не йде вліво, чи то вгору, чи то вниз. Наприклад, шлях DCBAD C B A є незвичайним. А шлях DBCAD B C A не є незвичайним, оскільки літера CC з'являється перед літерою BB. a) Скільки існує незвичайних шляхів, що починаються в DD і закінчуються в AA? b) Покажіть, що кількість незвичайних шляхів, які починаються в EE, дорівнює сумі кількості незвичайних шляхів, які починаються в DD, і кількості незвичайних шляхів, які починаються в CC. c) Аугушту обчислив кількість незвичайних шляхів, що виходять з KK і приходять в AA. Чому дорівнює це число?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-090

Рекурентна послідовність за модулем 100

Нехай x1=y1=x2=y2=1x_{1} = y_{1} = x_{2} = y_{2} = 1, а для n≥3n \geq 3 нехай xn=xn−1yn−2+xn−2yn−1x_{n} = x_{n-1} y_{n-2} + x_{n-2} y_{n-1} і yn=yn−1yn−2−xn−1xn−2y_{n} = y_{n-1} y_{n-2} - x_{n-1} x_{n-2}. Які останні дві цифри числа ∣x2012∣\left|x_{2012}\right|?
10–11 класиКомплексні числа
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-001

Гострокутний трикутник серед обмежених відношень

Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких серед будь-яких nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що задовольняють умову max⁡(a1,a2,…,an)≤n⋅min⁡(a1,a2,…,an),\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \le n \cdot \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), знайдуться три, які є довжинами сторін гострокутного трикутника.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-002

Максимальна кількість кроків алгоритму Евкліда

Нехай aa і bb — натуральні числа, такі, що a>ba > b. Визначимо послідовність впорядкованих пар (al,bl)(a_{l}, b_{l}) для невід'ємних цілих ll за правилами a0=aa_{0} = a, b0=bb_{0} = b і (al+1,bl+1)=(bl,al mod bl)(a_{l+1}, b_{l+1}) = (b_{l}, a_{l} \bmod b_{l}), де для будь-яких натуральних чисел xx і yy вираз x mod yx \bmod y означає остачу від ділення xx на yy. Визначимо f(a,b)f(a, b) як найменше натуральне число jj, таке, що bj=0b_{j} = 0. Для натурального числа nn визначимо g(n)g(n) як max⁡1≤k≤n−1f(n,k)\max_{1 \leq k \leq n-1} f(n, k). а. Для натурального числа mm: яке найменше натуральне число nmn_{m}, таке, що g(nm)=mg(n_{m}) = m? б. Яке друге найменше?
10–11 класиАлгоритм Евкліда
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2007-002

Бінарне замощення з сусідніми нулями

Шістнадцять плиток закріплено на стіні, як показано нижче. Скількома способами можна написати 00 або 11 на кожній плитці так, щоб добуток двох чисел, написаних на кожній сусідній парі плиток (що мають спільну сторону), завжди дорівнював 00?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-018

Відношення чисел Фібоначчі та їх різниця

Числа Фібоначчі задано рівностями F1=F2=1F_{1} = F_{2} = 1, а Fn=Fn−1+Fn−2F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} для n≥3n \geq 3. Якщо число F2003F2002−F2004F2003\frac{F_{2003}}{F_{2002}} - \frac{F_{2004}}{F_{2003}} записати у вигляді нескоротного дробу, то чому дорівнює його чисельник?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-005

Числа Фібоначчі, кратні 13

Означимо числа Фібоначчі рівностями F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1, Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для n≥2n \geq 2. Для скількох nn, 0≤n≤1000 \leq n \leq 100, число FnF_{n} кратне 1313?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2002-012

Замощення прямокутника доміно

Доміно — це прямокутник розміром 1 на 2 або 2 на 1. Замощенням доміно області площини називається спосіб покрити її (і тільки її) повністю доміно, які не перекриваються. Наприклад, існує одне замощення доміно прямокутника 2 на 1 і є 2 замощення прямокутника 2 на 2 (одне складається з двох горизонтальних доміно, а друге — з двох вертикальних доміно). Скільки існує замощень доміно прямокутника 2 на 10?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2002-013

Замощення оміно прямокутника 2 на 10

Оміно — це квадрат 1 на 1 або горизонтальний прямокутник 1 на 2. Замощення оміно області площини — це спосіб покрити її (і тільки її) оміно. Скільки існує замощень оміно горизонтального прямокутника 2 на 10?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2002-014

Двійкові послідовності без трьох однакових підряд

Скільки існує послідовностей довжини 1010 із 00 та 11 таких, що ніде в послідовності немає трьох 00 або трьох 11 підряд?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2002-035

Парування з обмеженням на відстань

Массачусетс-авеню має довжину десять кварталів. У кожному кварталі живуть один хлопець і одна дівчина. Вони хочуть утворити дружні пари так, щоб кожен хлопець дружив рівно з однією дівчиною, і навпаки. Ніхто не хоче дружити з тим, хто живе далі ніж за один квартал (але можна в тому самому кварталі). Скільки можливих парувань існує?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2001-024

Добуток відношень чисел Фібоначчі та чисел Люка

Числа Фібоначчі визначено рівностями F1=F2=1F_{1} = F_{2} = 1 і Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} для n≥1n \geq 1. Числа Люка визначено рівностями L1=1L_{1} = 1, L2=3L_{2} = 3 і Ln+2=Ln+1+LnL_{n+2} = L_{n+1} + L_{n} для n≥1n \geq 1. Обчисліть ∏n=115F2nFn∏n=113Ln\frac{\prod_{n=1}^{15} \frac{F_{2n}}{F_{n}}}{\prod_{n=1}^{13} L_{n}}
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний гурток БеркліBMC-2022-037

Числа Фібоначчі, подільні на задане число

Нехай aa — довільне натуральне число. Доведіть, що завжди знайдеться число Фібоначчі, яке ділиться на aa.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний гурток БеркліBMC-2021-019

Натуральні числа з квадратом на 1 від добутку

Знайдіть усі натуральні числа N,nN, n такі, що N2N^{2} відрізняється від n(N+n)n(N+n) на 1.
Метод нескінченного спуску
Математичний гурток БеркліBMC-2020-003

Послідовність типу Фібоначчі за модулем 8

Нехай послідовність натуральних чисел s1,s2,…s_{1}, s_{2}, \ldots задовольняє sn+2=sn+1+sns_{n+2} = s_{n+1} + s_{n} для всіх натуральних чисел nn (але не обов'язково s1=s2=1s_{1} = s_{2} = 1). Доведіть, що існує ціле число rr таке, що sn−rs_{n} - r не ділиться на 88 для жодного цілого числа nn.
Числа Фібоначі
Математичний гурток БеркліBMC-2018-014

Рекурентне співвідношення, що дає повні квадрати

Нехай a0=a1=1a_{0} = a_{1} = 1 і an+1=7an−an−1−2a_{n+1} = 7 a_{n} - a_{n-1} - 2 для всіх натуральних чисел nn. Доведіть, що ana_{n} є повним квадратом для всіх nn.
Числа Фібоначі
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2013-006

Різниці добутків чисел Фібоначчі

Нехай F1,F2,F3…F_{1}, F_{2}, F_{3} \ldots — послідовність Фібоначчі, тобто послідовність натуральних чисел, у якій F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1 і Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} для всіх n≥1n \geq 1. Число Фібоначчі за означенням — це число, що зустрічається в цій послідовності. Нехай P1,P2,P3,…P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots — послідовність, що складається з усіх цілих чисел, які є добутками двох чисел Фібоначчі (не обов'язково різних), записаних у порядку зростання. Перші кілька членів такі: 1,2,3,4,5,6,8,9,10,13,…1,2,3,4,5,6,8,9,10,13, \ldots адже, наприклад, 3=1⋅3,4=2⋅23=1 \cdot 3, 4=2 \cdot 2 і 10=2⋅510=2 \cdot 5. Розглянемо послідовність DnD_{n} послідовних різниць послідовності PnP_{n}, де Dn=Pn+1−PnD_{n}=P_{n+1}-P_{n} при n≥1n \geq 1. Перші кілька членів послідовності DnD_{n} такі: 1,1,1,1,1,2,1,1,3,…1,1,1,1,1,2,1,1,3, \ldots Доведіть, що кожне число в послідовності DnD_{n} є числом Фібоначчі.
Числа Фібоначі

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.