Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

77 задач
КомбінаторикаКонструкція через симетрією
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-028

Три перегинання зафарбованого квадрата 6×6

У квадраті 6×66 \times 6 зафарбовано декілька клітинок (рис. 10.2). Квадрат можна перегинати вздовж будь-якої лінії сітки, після цього його треба розгорнути, і тоді незафарбовані клітинки, що сумістилися із зафарбованими, також стають зафарбованими. Чи можна за три таких перегинання зробити зафарбованим увесь квадрат?
4 класКонструкція через симетрією
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-041

Чотири однакові квадрати і дві перпендикулярні прямі

Нарисуйте 44 однакових квадрати, які не накладаються один на інший, а також 22 перпендикулярні прямі, кожна з яких перетинає кожний із 44 квадратів по відрізку.
5 класГеометричні приклади і контрприкл…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-023

Послідовність із шести чисел, 2-гарна і 3-гарна

Послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n складається з nn попарно різних цілих чисел. Для заданого k⩽nk \leqslant n розбиваємо члени послідовності на kk груп таким чином: до першої групи входять числа a1,ak+1,a2k+1,…a_1, a_{k+1}, a_{2k+1}, \ldots; до другої групи входять числа a2,ak+2,a2k+2,…a_2, a_{k+2}, a_{2k+2}, \ldots; і так далі, до kk-ї групи входять числа ak,ak+k,a2k+k,…a_k, a_{k+k}, a_{2k+k}, \ldots. Отже, кількість чисел у групах або однакова, або в перших групах кількість елементів у кожній по ll, а в усіх інших — по l−1l - 1. Послідовність назвемо kk-гарною, якщо це розбиття має таку властивість: суми чисел у всіх kk групах рівні. Наприклад, послідовність із 1010 чисел 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8 є 44-гарною, бо рівними є такі суми чисел в утворених чотирьох групах: 1−2+17=2+6+8=3+13=4+12=16.1 - 2 + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12 = 16. Знайдіть послідовність із шести членів, яка одночасно є 22-гарною та 33-гарною.
9 класЛінійні рівняння та системи
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-034

Найбільше k для k-гарної послідовності з 99 чисел

Послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n складається з nn попарно різних цілих чисел. Для заданого k⩽nk \leqslant n розбиваємо члени послідовності на kk груп таким чином: до першої групи входять числа a1,ak+1,a2k+1,…a_1, a_{k+1}, a_{2k+1}, \ldots; до другої групи входять числа a2,ak+2,a2k+2,…a_2, a_{k+2}, a_{2k+2}, \ldots; і так далі, до kk-ї групи входять числа ak,ak+k,a2k+k,…a_k, a_{k+k}, a_{2k+k}, \ldots. Отже, кількість чисел у групах або однакова, або в перших групах кількість елементів по ll, а в усіх інших — по l−1l - 1. Послідовність назвемо kk-гарною, якщо це розбиття має таку властивість: суми чисел у всіх kk групах рівні. Наприклад, послідовність із 1010 чисел 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8 є 44-гарною, бо рівними є такі суми чисел в утворених чотирьох групах: 1−2+17=2+6+8=3+13=4+12=16.1 - 2 + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12 = 16. Для якого найбільшого kk існує послідовність із 9999 членів, яка є kk-гарною?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-034

Три відмінники та десять контрольних з оцінками 10-12

Уважатимемо, що учень А навчається краще за учня Б, якщо за більшість проведених контрольних робіт учень А отримав вищу оцінку, ніж учень Б. Петрик, Василь та Івасик є відмінниками в одному класі, усі контрольні з математики вони написали на різну кількість балів — від 1010 до 1212, тобто по кожній з контрольних у них були різні оцінки. Чи могло так трапитися, що за підсумками 1010 контрольних робіт Петрик навчається краще за Василя, Василь — краще за Івасика, а Івасик — краще за Петрика?
5 класКонструкція через періодичність
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-18-19-019

Другий рядок чисел 1–9 з квадратними сумами в стовпчиках

У таблиці розміром 2×92 \times 9 верхній рядок зліва направо заповнено числами 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 у вказаному порядку. Чи можна другий рядок цієї таблиці заповнити тими самими числами в деякому іншому порядку так, щоб сума двох чисел у кожному стовпчику утворювала точний квадрат?
4 класКонструкція через симетрією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-003

Обмін гир 1–4n місцями з обмеженням різниці ваг

Нехай nn та TT — натуральні числа. Петрик має 4n4n гир вагою 1,2,…,4n1, 2, \ldots, 4n. Він розміщує їх на двох шальках терезів так, щоб вони були врівноважені. За один хід Василь може перемістити гирю з однієї шальки на іншу таким чином, щоб різниця ваг гир на шальках не перевищувала TT. Визначте, в залежності від nn, мінімальне можливе значення TT, для якого Василь зможе зробити послідовність ходів так, щоб кожна гиря після завершення всіх ходів опинилася на протилежній шальці терезів по відношенню до початкового розміщення гир Петриком.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-005

Кольорові прямі з гарними та поганими перетинами

Назвемо пряму ll — кольоровою, якщо на ній існує точка PP, що розбиває пряму ll на два промені — один синього кольору, а інший — жовтого. Точка PP при цьому називається точкою поділу прямої ll. Назвемо перетин двох кольорових прямих гарним, якщо дві прямі мають однаковий колір у точці перетину, і поганим — у протилежному випадку. Визначте всі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, для яких існує набір із nn попарно різних кольорових прямих, що задовольняє такі умови: - серед прямих немає двох паралельних, та жодні три прямі не перетинаються в одній точці; - жодна з точок перетину двох прямих не є точкою поділу кожної з цих прямих; - для кожної лінії з набору кількість гарних та поганих перетинів відрізняється щонайбільше на 1.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-001

Найменша множина чисел з сумами k інших

Задано ціле число k⩾2k \geqslant 2. Знайдіть найменше ціле число n⩾k+1n \geqslant k+1, що має таку властивість: існує множина з nn попарно різних дійсних чисел, у якій кожний з її елементів може бути поданий як сума kk інших попарно різних елементів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-005

Знакозмінна сума після викидання одного нуля чи одиниці

У рядок виписано декілька чисел, кожне з яких дорівнює 00 чи 11. Доведіть, що можна викинути одне з них або не викидати жодного так, щоб знакозмінна сума чисел, що лишилися, дорівнювала 00. Примітка. Знакозмінна сума послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n невід'ємних чисел — це сума, що визначається в такий спосіб: a1−a2+a3−a4+…+(−1)n+1ana_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots + (-1)^{n+1} a_n. Наприклад, якщо виписано числа 1,0,0,0,1,0,11, 0, 0, 0, 1, 0, 1, то можна викинути другу справа одиницю й отримати таку знакозмінну суму: 1−0+0−0+0−1=01 - 0 + 0 - 0 + 0 - 1 = 0.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-011

Лампи в ряд і момент одночасного вимкнення

Є n≥2n \ge 2 ламп L1,…,LnL_1, \ldots, L_n, розташованих в ряд, кожна з яких може бути в одному з двох станів – «вкл» або «викл». Кожної секунди лампи одночасно змінюють свій стан за такими правилами: – якщо лампа LiL_i та її сусіди (при i=1,i=ni=1, i=n лампа має рівно одного сусіда, при інших – двох) перебувають в однаковому стані, то вона приймає стан «викл»; – інакше вона приймає стан «вкл». У початковому положенні усі лампи перебувають у стані «викл», окрім крайньої лівої лампи, яка має стан «вкл». а) Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких усі лампи будуть з часом у стані «викл». б) Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких лампи не будуть усі одночасно в положенні «викл» ні в який момент часу.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-009

Поділ дружної компанії на три знайомі групи

Компанію людей будемо називати дружною, якщо серед будь-яких трьох її членів знайдуться два, які є знайомими між собою. Чи кожну дружну компанію можна розділити на три групи так, щоб у кожній групі всі люди були попарно знайомими?
10–11 класиКонструкція через симетрією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-027

Ламана з майже ідеальними самоперетинами

Назвемо перетин двох відрізків майже ідеальним, якщо для кожного з них довжина відрізка щонайменше у 20212021 разів перевищує відстань між його серединою та точкою перетину. Доведіть, що існує замкнена ламана, яка перетинає кожен зі своїх відрізків принаймні один раз і для якої всі її перетини є майже ідеальними.
10–11 класиКонструкція через симетрією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-003

Дві рівні купки камінців 1…4n за кольорами

Маємо 4n4n камінців масою 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n. Кожний камінець пофарбовано в один з nn кольорів, при цьому маємо по 44 камінці кожного кольору. Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної маси так, щоб у кожній купці було по 22 камінці кожного кольору.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-047

Розбиття круга на рівні частини без центра

Розріжте круг на кілька рівних частин так, щоб хоча б одна з частин не містила центр круга ні всередині, ні на своїй межі. Кожен розріз може бути відрізком або дугою довільного радіуса між будь-якими двома точками круга. Достатньо знайти один спосіб розрізання.
7–9 класиРозрізання, покриття та замощення
Балтійський шляхBW-2008-011

Подарунки пар дітей при непарному n

У шкільному класі з 3n3n дітьми будь-які двоє дітей разом роблять подарунок рівно одній іншій дитині. Доведіть, що для всіх непарних nn можливо, щоб виконувалася така умова: Для будь-яких трьох дітей AA, BB і CC в класі, якщо AA і BB роблять подарунок CC, то AA і CC роблять подарунок BB.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Балтійський шляхBW-2006-012

Розбиття сфери на конгруентні частини з точками

На поверхні сфери позначено 2006 точок. Доведіть, що поверхню можна розрізати на 2006 конгруентних частин так, щоб кожна частина містила всередині рівно одну з цих точок.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-016

Існування симетричних турнірів

(n,k)(n, k)-турніром називається змагання з nn учасниками, що проводиться в kk турах, таке, що: (i) Кожен учасник грає в кожному турі, і будь-які два учасники зустрічаються не більше одного разу. (ii) Якщо учасник AA зустрічається з учасником BB у турі ii, учасник CC зустрічається з учасником DD у турі ii, а учасник AA зустрічається з учасником CC у турі jj, то учасник BB зустрічається з учасником DD у турі jj. Визначте всі пари (n,k)(n, k), для яких існує (n,k)(n, k)-турнір.
10–11 класиЗв’язність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-027

Множини з n розбиттями на частини з рівною сумою

Нехай nn — невід’ємне ціле число. Скінченну множину цілих чисел назвемо nn-збалансованою, якщо існує рівно nn способів розбити її на дві підмножини з однаковою сумою. Наприклад, множина {1,3,4,5,6,7}\{1,3,4,5,6,7\} є 2-збалансованою, оскільки єдині способи розбити її на дві підмножини з однаковою сумою — це розбити її на {1,3,4,5}\{1,3,4,5\} і {6,7}\{6,7\} або ж на {1,5,7}\{1,5,7\} і {3,4,6}\{3,4,6\}. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0, для яких існує nn-збалансована множина.
9–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-006

Розбиття чисел на пари з добутком — точним п'ятим степенем

Чи можна розбити числа 0,1,2,3,…,610, 1, 2, 3, \ldots , 61 на пари так, щоб добуток 31 числа, отриманого додаванням чисел у кожній парі, був точним п'ятим степенем?
10–11 класиКонструкція через симетрією
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-009

Розфарбування сітки 6×6 з обертанням

Ми хочемо розфарбувати 36 клітинок дошки 6×66 \times 6. Кожна клітинка повинна бути пофарбована в білий, сірий або чорний колір, і повинна виконуватися така вимога: Три сусідні клітинки в одному рядку або стовпці завжди повинні мати три різні кольори. Ми говоримо, що два розфарбування є справді різними, якщо одне не можна отримати з іншого обертанням дошки. Нижче зображено три розфарбування, які відповідають вимозі. Перше і друге розфарбування є справді різними, але третє після обертання збігається з другим. Скільки справді різних розфарбувань відповідають вимозі (включаючи два з малюнка)?
7–9 класиКонструкція через періодичність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-129

Сума модулів k для k-гармонійних розстановок гіперкуба

Тесса-гіпермураха має 2019-вимірний гіперкуб. Для дійсного числа kk вона називає розстановку ненульових дійсних чисел у 220192^{2019} вершинах гіперкуба kk-гармонійною, якщо для будь-якої вершини сума всіх 2019 чисел у вершинах, суміжних з нею по ребру, дорівнює kk помноженому на число в цій вершині. Нехай SS — множина всіх можливих значень kk, для яких існує kk-гармонійна розстановка. Знайдіть ∑k∈S∣k∣\sum_{k \in S}|k|.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-025

Регулярні симетричні зв'язки в групі осіб

Нехай k⩾1k \geqslant 1 — ціле число. Кожному клієнту телефонний оператор пропонує kk номерів, для яких спілкування є безкоштовним (якщо особа AA обирає номер BB, то дзвінки від AA до BB і від BB до AA безкоштовні). Розглянемо групу з nn осіб. 1) Якщо n⩾2k+2n \geqslant 2k+2, доведіть, що існують дві особи, які не зможуть спілкуватися безкоштовно. 2) Якщо n=2k+1n=2k+1, доведіть, що nn осіб можуть зробити так, щоб кожна особа могла безкоштовно спілкуватися з будь-якою іншою.
10–11 класиСтепені вершин
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-002

Складання куба з позначених кубиків

Є 8 однакових гральних кубиків. Числа 44, 55, 66 написано на трьох гранях кубика, як показано на рисунку, а на решті граней стоять числа 11, 22, 33 так, що сума чисел, написаних на кожній парі протилежних граней, дорівнює 77. a) Покажіть, що з цих кубиків можна скласти куб 2×2×22 \times 2 \times 2 так, щоб кожні дві грані, що дотикаються одна до одної, мали однакове число. b) Чи можна це зробити так, щоб на зовнішній поверхні утвореного куба траплялися лише числа 44, 55, 66?
9 класКонструкція через симетрією
Математичний гурток БеркліBMC-2013-013

Магічний куб з неповторними числами на ребрах

На кожному ребрі куба написано число. Куб називається магічним, якщо: (i) Для кожної грані чотири ребра навколо неї мають однакову суму. (ii) Для кожної вершини три ребра, що сходяться в ній, мають однакову суму. (Суми для граней і для вершин можуть бути різними.) Визначте, чи існує магічний куб, який використовує (a) числа від 1 до 12, кожне рівно один раз; (b) числа від 1 до 13, кожне не більше одного разу.
Підрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.