Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-014

Абсолютна рекурсія у вершинах правильного многокутника

Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких можна вписати по числу (не обов’язково цілому) в кожну вершину правильного nn-кутника так, щоб виконувалися обидві такі умови: (1) Якщо три послідовні вершини nn-кутника, взяті за годинниковою стрілкою, містять числа x,yx, y і zz відповідно, то виконується рівність x=∣y−z∣x = |y - z|; (2) Сума чисел в усіх вершинах nn-кутника дорівнює 1.
Періодичні і неперіодичні послідо…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-006

Стани ламп за допомогою сусідніх перемикачів

Нехай nn — натуральне число, n≥2n \ge 2. На колі розміщено nn ламп. Лампи занумеровано за годинниковою стрілкою натуральними числами від 11 до nn. Кожна лампа може бути ввімкненою або вимкненою. Між кожними двома сусідніми лампами є перемикач, який дає змогу одночасно змінити стан обох ламп. Спочатку всі лампи вимкнені. Скільки різних конфігурацій станів ламп можна досягти за допомогою цих перемикачів?
Парність і непарність2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-026

Двійкова послідовність з обмеженням на густину

Кожен член послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots дорівнює 00 або 11. Відомо, що серед будь-яких 20212021 послідовних членів послідовності і 00, і 11 трапляються щонайменше 10101010 разів. Чи можна стверджувати, що послідовність, починаючи з деякого місця, є періодичною, тобто існують натуральні числа nn і pp такі, що an+i=an+i+pa_{n+i} = a_{n+i+p} для кожного натурального числа ii?
Періодичні і неперіодичні послідо…
Математичний гурток БеркліBMC-2020-003

Послідовність типу Фібоначчі за модулем 8

Нехай послідовність натуральних чисел s1,s2,…s_{1}, s_{2}, \ldots задовольняє sn+2=sn+1+sns_{n+2} = s_{n+1} + s_{n} для всіх натуральних чисел nn (але не обов'язково s1=s2=1s_{1} = s_{2} = 1). Доведіть, що існує ціле число rr таке, що sn−rs_{n} - r не ділиться на 88 для жодного цілого числа nn.
Числа Фібоначі
Математичний гурток БеркліBMC-2020-010

Сума обернених чисел, що дорівнює 2019

Визначте, з доведенням, чи існують різні натуральні числа a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} такі, що 1a1+1a2+⋯+1an=2019.\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}} = 2019.
Жадібний алгоритм
Математичний гурток БеркліBMC-2019-008

Сума площ серединних трикутників

Нехай TT — трикутник з площею 11. Нехай T1T_{1} — серединний трикутник трикутника TT, тобто трикутник, вершинами якого є середини сторін трикутника TT. Далі нехай T2T_{2} — серединний трикутник трикутника T1T_{1}, T3T_{3} — серединний трикутник трикутника T2T_{2} і так далі. Чому дорівнює сума площ трикутників T1,T2,T3,T4,…T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}, \ldots?
Площі подібних фігур
Математичний гурток БеркліBMC-2019-029

Дійсні корені геометричного многочлена

Для яких натуральних чисел nn многочлен P(X)=Xn+Xn−1+⋯+1P(X) = X^{n} + X^{n-1} + \cdots + 1 має дійсний корінь?
Геометрична прогресія
Математичний гурток БеркліBMC-2018-014

Рекурентне співвідношення, що дає повні квадрати

Нехай a0=a1=1a_{0} = a_{1} = 1 і an+1=7an−an−1−2a_{n+1} = 7 a_{n} - a_{n-1} - 2 для всіх натуральних чисел nn. Доведіть, що ana_{n} є повним квадратом для всіх nn.
Числа Фібоначі
Математичний гурток БеркліBMC-2017-002

Округлення суми обернених степенів

Ліза розглядає число x=111+122+⋯+1100100.x=\frac{1}{1^{1}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{100^{100}} . Ліза хоче дізнатися, чому дорівнює xx, округлене до найближчого цілого числа. Допоможіть їй знайти це значення.
Геометрична прогресія
Математичний гурток БеркліBMC-2017-010

Нерівність у рекурентній послідовності дійсних чисел

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна послідовність додатних дійсних чисел, яка задовольняє an+1≥an2+15a_{n+1} \geq a_{n}^{2}+\frac{1}{5} для кожного натурального числа nn. Доведіть, що an+5≥an−5\sqrt{a_{n+5}} \geq a_{n-5} для кожного натурального числа nn.
Числові нерівності
Математичний гурток БеркліBMC-2017-018

Нескінченна сума добутків за простими числами

Обчисліть суму ∑k=1∞(∏i=1kPi−1Pi+1)=13+13⋅25+13⋅25⋅47+13⋅25⋅47⋅611+…\sum_{k=1}^{\infty}\left(\prod_{i=1}^{k} \frac{P_{i}-1}{P_{i+1}}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{7}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{6}{11}+\ldots де PnP_{n} позначає n-теn^{\text{-те}} просте число.
Суми послідовностей
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-011

Діагональна нумерація клітинок дошки

Розгляньмо таку клітчасту дошку, на якій усі натуральні числа записано по діагоналях. | ⋱\ddots | | | | | | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 10 | ⋱\ddots | | | | | | 6 | 9 | ⋱\ddots | | | | | 3 | 5 | 8 | 12 | ⋱\ddots | | | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 | ⋱\ddots | Кожна клітинка має позицію, позначену (x,y)(x, y), де xx позначає стовпчик, порахований зліва направо, а yy позначає рядок, порахований знизу вгору. Наприклад, 12 — це число, записане в клітинці з позицією (4,2)(4,2): a) Визначте число, яке стоїть у клітинці з позицією (4,4)(4,4). b) Визначте число, яке стоїть у клітинці з позицією (1,2016)(1,2016). c) Визначте число, яке стоїть у клітинці з позицією (2013,2017)(2013,2017).
Суми послідовностей
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-055

Рекурентна послідовність з приростом оберненого квадрата

Послідовність дійсних чисел xnx_{n} — це впорядкований список дійсних чисел, у якому перше число списку — це член x1x_{1}, друге — член x2x_{2} і так далі. Наприклад, звичайну послідовність додатних цілих чисел можна описати як xn=nx_{n}=n для всіх натуральних чисел nn. Деякі послідовності можна задавати рекурентними співвідношеннями, у яких член визначається через свої попередні. Наприклад, послідовність додатних цілих чисел можна було б задати як x1=1x_{1}=1 і xn=xn−1+1x_{n}=x_{n-1}+1 для всіх натуральних чисел n≥2n \geq 2. Тоді можна було б обчислити x2=1+1=2x_{2}=1+1=2, x3=2+1=3x_{3}=2+1=3 і так далі. Розглянемо послідовність дійсних чисел, задану як x1=1x_{1}=1 і xn=xn−1+1xn−12x_{n}=x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^{2}} для всіх натуральних чисел n≥2n \geq 2. a) Обчисліть x2,x3x_{2}, x_{3} і x4x_{4}. b) Перевірте, що послідовність строго зростає, тобто що xn>xn−1x_{n}>x_{n-1} для всіх натуральних чисел nn. c) Зауважимо, що послідовність, здається, зростає дуже повільно. Після обчислення кількох початкових членів можна було б запідозрити, що жоден член не перевищує 2016, але насправді ми доведемо, що існують члени, більші за 2016. Для цього скористаємося допоміжною послідовністю yn=xn3y_{n}=x_{n}^{3}. Доведіть, що yn>yn−1+3y_{n}>y_{n-1}+3 для всіх n≥2n \geq 2. d) Доведіть, що існує таке число NN, що xN>2016x_{N}>2016.
Послідовності (інші властивості)
Математичний гурток БеркліBMC-2016-001

Кути п'ятикутника в арифметичній прогресії

Рейчел вимірює кути деякого п'ятикутника ABCDEABCD E у градусах. Вона виявляє, що ∠A<∠B<∠C<∠D<∠E\angle A < \angle B < \angle C < \angle D < \angle E, а також що величини кутів утворюють арифметичну прогресію, тобто що ∠B−∠A=∠C−∠B=∠D−∠C=∠E−∠D\angle B - \angle A = \angle C - \angle B = \angle D - \angle C = \angle E - \angle D. Чому дорівнює ∠C\angle C?
Арифметична прогресія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-005

Розкладання карток у скриньки зі зміною напрямку

У ряд розставлено 7 скриньок, пронумерованих від 1 до 7. У вас є стос із 2015 карток, які ви кладете в скриньки одну за одною. Першу картку ви кладете в скриньку №1, другу — у скриньку №2, і так далі до сьомої картки, яку ви кладете в скриньку №7. Потім ви рухаєтесь у зворотному напрямку: восьму картку кладете в скриньку №6, дев'яту — у скриньку №5, і так до тринадцятої картки, яку кладете в скриньку №1. Чотирнадцяту картку ви знову кладете в скриньку №2, і так триває, доки всі картки не буде розподілено. У яку скриньку потрапить остання картка?
Періодичні і неперіодичні послідо…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-002

Нерівність для добутку коренів

Доведіть, що для будь-якого натурального числа nn, 2⋅3⋅43⋅⋯⋅nn−1>n2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \dots \cdot \sqrt[n-1]{n} > n.
Нерівність Коші
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-003

Ітерації дробового перетворення

Науковий калькулятор Жоао має спеціальну клавішу, яка перетворює будь-яке число xx, записане на екрані й відмінне від 11, на число 11−x\frac{1}{1-x}. а) Що станеться, якщо на екрані записано число 22 і натиснути спеціальну клавішу тричі? б) Що станеться, якщо на екрані записано число 22 і натиснути спеціальну клавішу десять разів? в) Нарешті, що станеться, якщо на екрані записано число 22 і натиснути спеціальну клавішу 20152015 разів?
Періодичні і неперіодичні послідо…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-005

Члени арифметичної прогресії із заданими сумами

Арифметична прогресія, яку зазвичай називають А. П., — це послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і фіксованого числа rr, яке називають різницею прогресії. Наприклад, послідовність нижче є арифметичною прогресією з початковим членом 3 і різницею 4. a1=3,a2=7,a3=11,a4=15,a5=19,a6=23,a7=27,a8=31,a9=35,…a_{1}=3, a_{2}=7, a_{3}=11, a_{4}=15, a_{5}=19, a_{6}=23, a_{7}=27, a_{8}=31, a_{9}=35, \ldots Зауважимо, що ми позначаємо число на позиції ii символом aia_{i}. а) Якщо перший член арифметичної прогресії дорівнює 2, а її різниця дорівнює 3, чому дорівнює значення четвертого члена? б) Вчителька Жуана попросила його обчислити одинадцятий член арифметичної прогресії. На жаль, він забув, якими були початковий член і різниця. Єдині відомості, які він пам'ятав, були такими: a4+a7+a10=207a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=553\begin{aligned} a_{4}+a_{7}+a_{10} & =207 \\ a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11} & =553 \end{aligned} Чому дорівнює одинадцятий член?
Арифметична прогресія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-009

Сума послідовних непарних чисел

Дуже поширеним прийомом для обчислення сум є телескопічна сума. Вона полягає в «розкладанні» доданків суми на частини, які скорочуються. Наприклад, 11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5=(11−12)+(12−13)+(13−14)+(14−15)=11−15=45\begin{aligned} & \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}= \\ & \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)= \\ & \frac{1}{1}-\frac{1}{5}= \\ & \frac{4}{5} \end{aligned} За допомогою цього прийому можна знайти спосіб додавати послідовні непарні числа. Розгляньмо: a) Перелічуючи непарні числа по одному, починаючи з 1, перевірте, що число на позиції mm дорівнює m2−(m−1)2m^{2}-(m-1)^{2}. b) Обчисліть суму всіх непарних чисел між 1000 і 2014.
Суми послідовностей
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-032

Послідовність цифр з правилом останньої цифри суми

Цікава властивість числа 2013 полягає в тому, що 3 — це остання цифра суми 2+0+12+0+1. Повторюючи цей процес, тобто дописуючи справа останню цифру суми трьох попередніх цифр, отримаємо послідовність: 2,0,1,3,4,8,5,7…2,0,1,3,4,8,5,7 \ldots а) Доведіть, що, починаючи з послідовності 2,0,1 у такому порядку, можна також знайти три послідовні числа 1,2,21,2,2, у такому порядку. б) Зауважте, що якщо послідовність із трьох послідовних чисел з’явиться знову в тому самому порядку, то вся послідовність «повторюватиметься» далі. Наприклад, наведена нижче послідовність не є послідовністю з умови, але повторюється кожні чотири числа: …124312431243…12431243…‾\ldots \underline{124312431243 \ldots 12431243 \ldots} Перевірте, що якась послідовність із трьох цифр повторюється в послідовності з умови. в) Припустімо, що при першій появі «a,b,ca, b, c» у послідовності число безпосередньо перед нею дорівнює xx, а при другій її появі дорівнює yy, тобто в послідовності зустрінуться числа в такому порядку: …,x,a,b,c,…,y,a,b,c…\ldots, x, a, b, c, \ldots, y, a, b, c \ldots Покажіть, що x=yx=y. г) Знаючи, що 1,2,2 з’явилося в послідовності, у такому порядку, покажіть, що зрештою знову з’явиться послідовність цифр 2,0,12,0,1, також у такому порядку.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2013-006

Різниці добутків чисел Фібоначчі

Нехай F1,F2,F3…F_{1}, F_{2}, F_{3} \ldots — послідовність Фібоначчі, тобто послідовність натуральних чисел, у якій F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1 і Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} для всіх n≥1n \geq 1. Число Фібоначчі за означенням — це число, що зустрічається в цій послідовності. Нехай P1,P2,P3,…P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots — послідовність, що складається з усіх цілих чисел, які є добутками двох чисел Фібоначчі (не обов'язково різних), записаних у порядку зростання. Перші кілька членів такі: 1,2,3,4,5,6,8,9,10,13,…1,2,3,4,5,6,8,9,10,13, \ldots адже, наприклад, 3=1⋅3,4=2⋅23=1 \cdot 3, 4=2 \cdot 2 і 10=2⋅510=2 \cdot 5. Розглянемо послідовність DnD_{n} послідовних різниць послідовності PnP_{n}, де Dn=Pn+1−PnD_{n}=P_{n+1}-P_{n} при n≥1n \geq 1. Перші кілька членів послідовності DnD_{n} такі: 1,1,1,1,1,2,1,1,3,…1,1,1,1,1,2,1,1,3, \ldots Доведіть, що кожне число в послідовності DnD_{n} є числом Фібоначчі.
Числа Фібоначі
Математичний гурток БеркліBMC-2013-003

Сума чисел з парною сумою цифр

Натуральне число називається дивно парним, якщо сума його цифр парна. Знайдіть суму перших 2013 дивно парних чисел.
Розклад по розрядах, десяткові др…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-009

Максимальна часткова сума обмеженої послідовності

Нехай a1,a2,…,a2013a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2013} — дійсні числа, які задовольняють такі умови: - a1=a2013=0a_{1}=a_{2013}=0 - ∣ai−ai+1∣<1|a_{i}-a_{i+1}|<1 для 1≤i≤20121 \leq i \leq 2012. - ∑i=12013ai=0\sum_{i=1}^{2013} a_{i}=0. Знайдіть найбільше можливе значення суми ∑i=1mai\sum_{i=1}^{m} a_{i}, де mm (1≤m≤20131 \leq m \leq 2013) може змінюватися разом із послідовністю {ai}\{a_{i}\}.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-010

Періодична функція з квадратичною тотожністю

Скільки існує функцій f:Z→Rf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють такі три властивості? (a) f(1)=1f(1)=1; (b) Для всіх m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z} виконується f(m)2−f(n)2=f(m+n)f(m−n)f(m)^2 - f(n)^2 = f(m+n) f(m-n); (c) Для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z} виконується f(n)=f(n+2013)f(n) = f(n+2013).
Лінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-039

Час проходження ділянок біговою черепахою

Бігова черепаха рухається по прямій так. На першій ділянці шляху, що має довжину 12 м\frac{1}{2}~\text{м}, вона біжить зі швидкістю 3 м/с3~\text{м}/\text{с}. На другій ділянці, що має довжину 13 м\frac{1}{3}~\text{м}, вона біжить зі швидкістю 4 м/с4~\text{м}/\text{с}. На третій ділянці, що має довжину 14 м\frac{1}{4}~\text{м}, вона біжить зі швидкістю 5 м/с5~\text{м}/\text{с}, і так далі. a) Який час витрачає черепаха на проходження першої ділянки? Запишіть результат як різницю двох одиничних дробів, тобто дробів із чисельником, що дорівнює 1. b) Зробіть те саме стосовно другої ділянки. c) Обчисліть час, який витрачає черепаха на проходження перших 2013 ділянок.
Суми послідовностей

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.