Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
КомбінаторикаНапівінваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-021

Неминучі множини перестановок

Кажуть, що дві перестановки a1,…,a4035a_{1}, \ldots, a_{4035} і b1,…,b4035b_{1}, \ldots, b_{4035} чисел 1,…,40351, \ldots, 4035 перетинаються, якщо існує ціле число k⩽4035k \leqslant 4035 таке, що ak=bka_{k}=b_{k}. Кажуть, що множина EE перестановок є неминучою, якщо кожна перестановка чисел 1,…,40351, \ldots, 4035 перетинає перестановку, що належить EE. a) Доведіть, що існує неминуча множина, яка містить 2018 перестановок. b) Чи існує неминуча множина, яка містить 2017 перестановок?
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-024

Подвоєння рядків і віднімання у стовпцях до нулів

Розглянемо таблицю розміру 2018×20182018 \times 2018, у кожній клітинці якої міститься відмінне від нуля натуральне число. Ноемі змінює ці числа на свій розсуд, застосовуючи такі операції: ▹\triangleright вибрати рядок, а потім помножити на 2 всі числа, що містяться в цьому рядку; ▹\triangleright вибрати стовпець, а потім відняти 1 від усіх чисел, що містяться в цьому стовпці. Доведіть, що, застосовуючи ці операції, Ноемі може домогтися того, щоб отримати таблицю, у кожній клітинці якої міститься число 0.
9–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2018-024

Мінімальна кількість обмінів для збалансованих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Послідовність, що складається з 3n3 n літер, назвемо румунською, якщо літери I,MI, M і OO трапляються кожна рівно nn разів. Обмін — це переставлення двох сусідніх літер. Доведіть, що для кожної румунської послідовності XX існує румунська послідовність YY така, що для отримання послідовності YY з послідовності XX потрібно щонайменше 3n22\frac{3 n^{2}}{2} обмінів.
10–11 класиПерестановки2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-008

Фарбування ламп із правилом перемикання

В електричній схемі є скінченна кількість ламп. Деякі пари ламп безпосередньо з'єднані проводом. Кожна лампа світиться або червоним, або синім кольором. Одним перемиканням усі лампи, які мають безпосереднє з'єднання з лампою іншого кольору, змінюють свій колір (з червоного на синій або навпаки). Доведіть, що після деякої кількості перемикань усі лампи матимуть той самий колір, що й за два перемикання до цього.
8–10 класиНапівінваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-065

Циклічна квадратична система в дійсних числах

Розв'яжіть у дійсних числах систему рівнянь x1(x1−1)=x2−1x2(x2−1)=x3−1⋯x2016(x2016−1)=x2017−1x2017(x2017−1)=x1−1.\begin{gathered} x_{1}\left(x_{1}-1\right)=x_{2}-1 \\ x_{2}\left(x_{2}-1\right)=x_{3}-1 \\ \cdots \\ x_{2016}\left(x_{2016}-1\right)=x_{2017}-1 \\ x_{2017}\left(x_{2017}-1\right)=x_{1}-1 . \end{gathered}
9–11 класиНапівінваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-073

Округлення таблиці зі збереженням сум рядків і стовпців

У клітинках прямокутної таблиці з nn рядками і mm стовпцями записано дійсні числа. Припустимо, що для кожного рядка або стовпця сума чисел, записаних у цьому рядку або стовпці, є цілим числом. Доведіть, що можна замінити кожне дійсне xx на ціле ⌊x⌋\lfloor x\rfloor або ⌈x⌉\lceil x\rceil так, щоб суми кожного рядка і кожного стовпця залишилися без змін. Зауваження: Нагадаємо, що якщо xx — дійсне число, ⌊x⌋\lfloor x\rfloor — єдине ціле число таке, що ⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1\lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor+1, а ⌈x⌉\lceil x\rceil — єдине ціле число таке, що ⌈x⌉−1<x⩽⌈x⌉\lceil x\rceil-1<x \leqslant\lceil x\rceil.
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-009

Ітерації середнього арифметичного та гармонічного

Джеффрі пише на дошці числа 11 і 100000000=108100000000=10^{8}. Щохвилини, якщо на дошці є числа x,yx, y, Джеффрі замінює їх на x+y2 і 2(1x+1y)−1\frac{x+y}{2} \text{ і } 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^{-1} Після 20172017 хвилин два числа дорівнюють aa і bb. Знайдіть min⁡(a,b)\min (a, b) з точністю до найближчого цілого.
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-056

Максимальна складність циклічного замка

Яннік має велосипедний замок із 4-цифровим кодом, цифри якого від 00 до 99 включно. (Початкові нулі дозволені.) Диски замка зараз установлено на 00000000. Щоб відімкнути замок, він щосекунди вибирає послідовний набір дисків і збільшує або зменшує всі їх на один, доки диски не встановляться на код. Наприклад, після першої секунди диски можуть показувати 11001100, 00100010 або 99999999, але не 09090909 чи 01900190. (Цифри на кожному диску циклічні, тому збільшення 99 дає 00, а зменшення 00 дає 99.) Нехай складність коду — це мінімальна кількість секунд, потрібна йому, щоб відімкнути замок. Яка найбільша можлива складність коду і скільки кодів мають цю найбільшу складність? Виразіть дві відповіді як впорядковану пару.
10–11 класиНапівінваріанти
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-003

Зведення учасників лабіринту в один квадрат

Головна будівля ETH Zürich — це прямокутник, поділений на одиничні квадрати. Кожна сторона квадрата є стіною, причому деякі стіни мають двері. Зовнішні стіни головної будівлі дверей не мають. Декілька учасників SMO заблукали в головній будівлі. Вони можуть переходити з одного квадрата в інший лише через двері. Припускаємо, що між будь-якими двома квадратами головної будівлі існує прохідний шлях. Сіріл хоче зробити так, щоб учасники знову знайшли один одного, привівши всіх на один і той самий квадрат. Для цього він може давати їм по рації такі вказівки: північ, схід, південь або захід. Після кожної вказівки кожен учасник одночасно намагається перейти на один квадрат у цьому напрямку. Якщо у відповідній стіні немає дверей, він залишається на місці. Доведіть, що Сіріл може досягти своєї мети за скінченну кількість вказівок, незалежно від того, на яких квадратах учасники перебувають на початку.
10–11 класиНапівінваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-001

Розсадка за круглим столом поруч із друзями

Нехай n≥1n \geq 1 — натуральне число. Група з 2n2n осіб зібралася разом. Кожна з цих осіб має принаймні nn друзів у цій групі (зокрема, якщо AA дружить з BB, то BB дружить з AA, і ніхто не дружить сам із собою). Доведіть, що цих 2n2n осіб можна розсадити навколо круглого столу так, щоб кожен сидів між двома своїми друзями.
9–11 класиШляхи на графах
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-011

Неперетинне сполучення точок кола із сумою

На колі лежать 2n2n різних точок. Числа від 11 до 2n2n навмання розподілено по цих точках. Кожну точку з'єднано рівно з однією іншою точкою так, щоб жодні два з утворених сполучних відрізків не перетиналися. Якщо відрізок з'єднує числа aa і bb, то надамо цьому відрізку значення ∣a−b∣|a-b|. Доведіть, що відрізки можна вибрати так, щоб сума цих значень дорівнювала n2n^{2}.
10–11 класиКонструкція за індукцією2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-009

Ітеративний процес подвоєння суми

Нехай mm — натуральне число. На дошці SMO написано 2m2^{m} разів число 11. За один крок ми вибираємо два числа aa і bb на дошці й замінюємо кожне з них на a+ba+b. Доведіть, що після m2m−1m 2^{m-1} кроків сума чисел становить щонайменше 4m4^{m}.
10–11 класиНерівність Коші
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2014-013

Злиття фішок з однаковими номерами

Маємо nn фішок, на кожній з яких написано ціле число (яке може бути від'ємним). Якщо серед них знайдуться дві фішки з однаковим номером mm, то їх забирають і замість них кладуть одну фішку з номером m−1m-1 та іншу з номером m+1m+1. Доведіть, що після скінченної кількості таких замін усі фішки матимуть різні номери.
9–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-100

Мінімізація суми зі зваженими замінами

Зафіксуємо додатне дійсне число c>1c>1 і натуральне число nn. Спочатку на дошці написані числа 1,c,…,cn−11, c, \ldots, c^{n-1}. Щохвилини Боб вибирає два числа a,ba, b на дошці й замінює їх на ca+c2bc a + c^{2} b. Доведіть, що через n−1n-1 хвилин на дошці залишиться одне число, не менше за (cn/L−1c1/L−1)L\left(\frac{c^{n / L}-1}{c^{1 / L}-1}\right)^{L} де ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} і L=1+log⁡ϕ(c)L=1+\log _{\phi}(c).
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2014-030

Перемикання лампочок на великій дошці

На дошці 2014×20142014 \times 2014 на кожній з 201422014^{2} клітинок стоїть лампочка. Лампочки можуть бути ввімкнені або вимкнені. У початковій ситуації деяка кількість лампочок увімкнена. За один хід вибирають рядок або стовпець, у якому ввімкнено принаймні 1007 лампочок, і змінюють стан усіх 2014 лампочок у цьому рядку або стовпці (з увімкненої на вимкнену і з вимкненої на увімкнену). Знайдіть найменше невід'ємне ціле kk таке, що з кожної початкової ситуації можна за скінченну кількість ходів перейти до ситуації, у якій увімкнено не більше ніж kk лампочок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-003

Перестановки, що переживають чотири видалення нерухомих точок

nn учнів з різними іменами стають у коло обличчям до центра кола. Спочатку nn бейджів з іменами учнів роздають їм навмання. Учні повторюють такий процес: [процес] Кожен учень, що має бейдж зі своїм іменем, виходить з кола, а решта учнів передають свої бейджі праворуч. Знайдіть кількість початкових роздач бейджів, за яких після 4 процесів ще залишаться деякі учні.
10–11 класиПерестановки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-003

Гра на шестикутній сітці з видаленням та лінією

Нехай kk — додатне ціле число. Два гравці AA і BB грають у гру на нескінченній сітці з правильних шестикутників. Спочатку всі клітинки сітки порожні. Потім гравці по черзі роблять ходи, причому AA ходить першим. Своїм ходом AA може вибрати два сусідні порожні шестикутники в сітці та помістити в обидва фішку. Своїм ходом BB може вибрати будь-яку фішку на дошці та видалити її. Якщо в будь-який момент є kk послідовних клітинок сітки в ряд, усі з яких містять фішку, AA виграє. Знайдіть мінімальне значення kk, для якого AA не може виграти за скінченну кількість ходів, або доведіть, що такого мінімального значення не існує.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-019

Шахове розфарбування відбиттями квадратів 2×2

На клітинній дошці 2n×2n2n \times 2n рівно половина клітинок пофарбована в чорний колір, а друга половина — у білий. За один хід можна взяти деякий квадрат 2×22 \times 2 у цій дошці та відобразити його чотири клітинки симетрично відносно горизонтальної або вертикальної центральної осі. Для яких натуральних чисел nn можна з будь-якої початкової конфігурації дійти до стану, коли вся дошка пофарбована шаховим чином?
11 класНапівінваріанти
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-015

Найбільше кінцеве значення ітерованих модулів різниць

Числа 1,2,…,20121, 2, \ldots, 2012 записані на дошці в деякому порядку, кожне рівно один раз. Між кожними двома сусідніми числами записують абсолютне значення їхньої різниці, а початкові числа витирають. Це повторюють, доки на дошці не залишиться лише одне число. Яке найбільше можливе число може залишитися на дошці?
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-057

Мінімальна кількість павуків для ловлі мухи на решітці

На площині розглянемо множину SS точок із координатами (x,y)(x, y), де x,y∈{1,2,…,2013}x, y \in \{1,2, \ldots, 2013\}. Дві точки з множини SS називаються сусідніми, якщо відстань між ними дорівнює 11. Щосекунди муха і павуки переміщуються по точках множини SS у такий спосіб: спочатку муха або не рухається, або переходить у точку, сусідню з тією, в якій вона перебуває. Потім кожен павук або не рухається, або переходить у точку, сусідню з тією, в якій він перебуває. Кілька павуків можуть одночасно перебувати в одній точці, а муха й павуки знають відповідні положення одне одного. а) Знайти найменше ціле число kk, для якого kk павуків завжди зможуть зрештою впіймати муху за скінченний час, незалежно від початкових положень мухи й павуків у точках множини SS. б) Дати відповідь на те саме запитання, якщо цього разу ми перебуваємо у звичайному просторі і SS — множина точок із координатами (x,y,z)(x, y, z), де x,y,z∈{1,2,…,2013}x, y, z \in \{1,2, \ldots, 2013\}.
9–11 класиНапівінваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-003

Роботи на прямокутній дошці з прохідними ребрами

На клітинках скінченної прямокутної дошки розміщено кілька роботів. В одній клітинці може перебувати будь-яка кількість роботів. Кожне ребро сітки класифіковано як прохідне або непрохідне. Усі ребра на межі дошки — непрохідні. Можна подавати будь-яку з команд вгору, вниз, вліво або вправо. Тоді всі роботи одночасно намагаються рухатися у вказаному напрямку. Якщо ребро, прилегле до робота в цьому напрямку, прохідне, робот переходить через нього в сусідню клітинку. Інакше робот залишається на своїй поточній клітинці. Після цього можна подати ще одну команду вгору, вниз, вліво або вправо, потім ще одну, і так далі, скільки завгодно. Припустимо, що для будь-якого окремого робота і будь-якої клітинки дошки існує скінченна послідовність команд, яка перемістить цього робота в цю клітинку. Доведіть, що можна також подати таку скінченну послідовність команд, щоб усі роботи одночасно опинилися в одній клітинці.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2012-017

Найдовший процес переходів учнів між кімнатами

У старшій олімпіадній школі є 20102010 учнів і 100100 класних кімнат. На початку кожен з учнів перебуває в одній з кімнат. Щохвилини, доки не всі опиняться в одній кімнаті, хтось переходить з однієї кімнати до іншої, в якій до його переходу учнів не менше, ніж у кімнаті, яку він залишає. Цей процес завершиться за MM хвилин. Визначте найбільше можливе значення MM.
10–11 класиНапівінваріанти
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-014

Досягнення неспадної послідовності замінами

Нехай NN — натуральне число. NN клітинок розташовано підряд зліва направо. Учні A і B грають у гру за такими правилами: (1) Спочатку A записує по одному невід'ємному цілому числу в кожну з NN клітинок. (2) Гра закінчується, коли досягнуто такої умови: для кожного ii, що задовольняє 1≤i≤N−11 \le i \le N - 1, число в ii-й клітинці зліва менше або дорівнює числу в (i+1)(i+1)-й клітинці зліва. Доки цю умову не виконано, гра триває повторенням такої процедури: (a) A називає одне невід'ємне ціле число. (b) B вибирає одну з NN клітинок і замінює число в цій клітинці числом, названим A в пункті (a). Чи може B завершити гру незалежно від того, як грає A?
10–11 класиНапівінваріанти
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-003

Передача печива на круглому столі

За круглим столом сидять 2n2n людей, яким роздано mm печив. Ці люди можуть передавати печиво за такими правилами: - Передавати печиво можна лише своїм сусідам. - Передати печиво можна, лише з'ївши одне печиво. Нехай AA — один із цих людей. Знайдіть найменше mm таке, що незалежно від того, як було розподілено mm печив, існує стратегія передавання печива, за якої AA матиме принаймні одне печиво.
10–11 класиНапівінваріанти
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-001

Злиття трьох каменів на прямій в одну точку

На дійсній прямій лежать три камені з цілочисельними координатами. За один крок можна вибрати два з цих каменів, один зсунути на 11 вліво, а інший — на 11 вправо. Для яких початкових положень можна всі три камені відповідною послідовністю кроків перемістити в одну й ту саму точку?
10–11 класиІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.