Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

175 задач
КомбінаторикаШляхи на графах
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2006-015

Гамільтонові цикли в додекаедрі

Дано додекаедр та його вершину XX. Мураха стартувала з XX, пройшла вздовж ребер додекаедра, пройшовши кожну з вершин додекаедра, крім XX, рівно один раз, і повернулася до XX. Скільки існує таких маршрутів? Маршрут та обернений до нього вважаємо різними.
10–11 класиШляхи на графах
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2006-015

Циклічні перемоги в круговому турнірі

У тенісному турнірі взяли участь щонайменше три гравці. При цьому кожні два гравці зіграли один з одним рівно один раз, і кожен гравець виграв щонайменше один матч. Доведіть, що існують три гравці A,B,CA, B, C, такі, що AA виграв проти BB, BB проти CC і CC проти AA.
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-091

Многогранник з ейлеровим шляхом

Маємо многогранник такий, що мураха може пройти з однієї вершини до іншої, рухаючись лише ребрами і проходячи кожне ребро рівно один раз. Яке найменше можливе сумарне число вершин, ребер і граней цього многогранника?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-029

Сторони многокутника, що покривають усі пари

Маємо nn-кутник, кожну вершину якого позначено числом із множини {1,…,10}\{1, \ldots, 10\}. Відомо, що для будь-якої пари різних чисел із цієї множини знайдеться сторона многокутника, кінці якої мають ці два числа. Знайдіть найменше можливе значення nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-019

Різні підмножини після вилучення елемента

Нехай XX — множина з nn елементів, а A1,A2,…,AnA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} — різні підмножини XX. Доведіть: існує таке x∈Xx \in X, що множини A1\{x},A2\{x},…,An\{x}A_{1} \backslash\{x\}, A_{2} \backslash\{x\}, \ldots, A_{n} \backslash\{x\} усі різні.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-056

Комірки в безплідних 2-конфігураціях

Коміркою 2-конфігурації множини AA називається непорожня підмножина CC множини AA така, що i. для будь-яких двох різних елементів a,ba, b множини CC існує послідовність c0,c1,…,cnc_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n} елементів множини AA, для якої c0=a,cn=bc_{0}=a, c_{n}=b і {c0,c1},{c1,c2},…,{cn−1,cn}\left\{c_{0}, c_{1}\right\},\left\{c_{1}, c_{2}\right\}, \ldots,\left\{c_{n-1}, c_{n}\right\} усі є елементами 2-конфігурації, і ii. якщо aa є елементом множини CC, а bb є елементом множини AA, але не множини CC, то НЕ існує послідовності c0,c1,…,cnc_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n} елементів множини AA, для якої c0=a,cn=bc_{0}=a, c_{n}=b і {c0,c1},{c1,c2},…,{cn−1,cn}\left\{c_{0}, c_{1}\right\},\left\{c_{1}, c_{2}\right\}, \ldots,\left\{c_{n-1}, c_{n}\right\} усі є елементами 2-конфігурації. Також 2-конфігурацію множини AA називаємо безплідною, якщо не існує підмножини {a0,a1,…,an}\left\{a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right\} множини AA, з n≥2n \geq 2, такої, що {a0,a1},{a1,a2},…,{an−1,an}\left\{a_{0}, a_{1}\right\},\left\{a_{1}, a_{2}\right\}, \ldots,\left\{a_{n-1}, a_{n}\right\} і {an,a0}\left\{a_{n}, a_{0}\right\} усі є елементами 2-конфігурації. Доведіть, що для будь-якої 2-конфігурації множини AA кожен елемент множини AA належить рівно одній комірці.
10–11 класиЗв’язність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-033

Квагги, що не атакують одна одну, на шаховій дошці

Квагга — це вимерла шахова фігура, хід якої подібний до ходу коня, але значно довший: вона може пройти 6 клітинок у будь-якому напрямку (вгору, вниз, вліво або вправо), а потім 5 клітинок у перпендикулярному напрямку. Знайдіть кількість способів розмістити 51 кваггу на шаховій дошці 8×88 \times 8 так, щоб жодна квагга не атакувала іншу. (Оскільки квагги за своєю природою войовничі істоти, вважається, що квагга атакує квагг на будь-яких клітинках, куди вона може піти, а також будь-яких інших квагг на тій самій клітинці.)
10–11 класиШляхи на графах
Італійська математична олімпіадаITAMO-2003-002

Обхід кімнат квадратного музею

Музей має квадратний план і поділений на n2n^{2} однакових квадратних кімнат (при n>1n>1). Кожна пара суміжних кімнат (тобто зі спільною стіною) сполучена дверима (як показано на прикладі поруч для n=4n=4). Нічний охоронець хоче організувати свій обхід для огляду так, щоб дотриматися таких правил: охоронець стартує з певної кімнати, де залишається одну хвилину, після чого переходить до суміжної кімнати, де залишається ще одну хвилину; маршрут продовжується через суміжні кімнати, у кожній з яких охоронець залишається завжди рівно одну хвилину перед тим, як перейти далі. Дозволено проходити кілька разів через ту саму кімнату, але наприкінці маршруту (який не обов'язково закінчується в початковій кімнаті) охоронець повинен був побувати в кожній з n2n^{2} кімнат рівно kk хвилин. Визначте, для яких натуральних чисел nn і kk можна організувати маршрут із дотриманням цих правил.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2002-008

Вечірки з n людей і знайомства знайомих

У групі з nn людей щовихідних хтось влаштовує вечірку, на якій він знайомить між собою всіх своїх знайомих. Після того як кожен із nn людей один раз влаштував вечірку, серед них усе ще є двоє, які не знають одне одного. Доведіть, що ці двоє ніколи в майбутньому не познайомляться на жодній із цих вечірок. (Двоє людей завжди знають одне одного взаємно або взаємно не знають.)
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2001-026

Орієнтовані цикли у графі стеження

У Женеві працюють 16 таємних агентів. Кожен агент стежить щонайменше за одним іншим агентом, але жодні два агенти не стежать один за одним взаємно. Припустимо, що будь-яких 10 агентів можна так пронумерувати, що перший стежить за другим, другий за третім і т. д., а десятий за першим. Доведіть, що тоді й будь-яких 11 агентів можна так пронумерувати, що кожен стежить за наступним.
10–11 класиОрієнтовані графи
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-041

Степені вершин розфарбованого 2025-кутника

а. Кожну сторону й діагональ правильного 20252025-кутника пофарбовано або в червоний, або в синій колір. Чи може статися так, що в кожній вершині сходиться однакова кількість червоних і синіх відрізків? б. Те саме запитання, якщо пофарбовано лише діагоналі.
Шляхи на графах2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2022-010

Очікувана кількість кроків між протилежними вершинами куба

Нехай AA і BB — діагонально протилежні вершини куба. Мураха повзе по кубу, починаючи з AA, і щосекунди навмання переходить до однієї з трьох вершин, суміжних з її поточною вершиною. Знайдіть очікувану кількість кроків, щоб мураха дісталася до вершини BB.
Шляхи на графах
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-007

Гамільтонові цикли і шляхи на дошці 3 на n

Дано прямокутну клітинну дошку з 3 рядками і nn стовпцями. а. Знайдіть кількість способів записати в кожну клітинку рівно по одному з чисел 1,2,…,3n1, 2, \ldots, 3n так, щоб виконувалися всі такі умови: (1) Різні клітинки містять різні числа. (2) Для кожного i=1,2,…,3n−1i = 1, 2, \ldots, 3n - 1 числа ii і i+1i + 1 записані в сусідні клітинки (тобто клітинки, що мають спільну сторону). (3) Числа 11 і 3n3n записані в сусідні клітинки. б. Те саме запитання, але замість 3-ї умови вимагається, щоб число 11 було записане в найлівіший, а число 3n3n — у найправіший стовпець.
Шляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-047

Обернена матриця зі строго додатними елементами

Нехай nn — ціле число, а n1n_1 — один з його дільників. Нехай AA — симетрична матриця розміру n×nn \times n, задана рівностями ai,i=4a_{i,i} = 4, ai,i+1=ai+1,i=−1a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = -1 для всіх ii таких, що 1≤i≤n−11 \le i \le n-1 і i+1i+1 не кратне n1n_1, ai,i+n1=ai+n1,i=−1a_{i,i+n_1} = a_{i+n_1,i} = -1, а ai,j=0a_{i,j} = 0 в інших випадках. Доведіть, що AA має обернену матрицю і що всі елементи оберненої матриці додатні.
Нерівність Коші-Буняковського
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2008-002

Найдовша змійка на шаховій дошці

Розглянемо шахову дошку 7×77 \times 7, у якій спочатку всі клітинки білі. Почнемо фарбувати клітинки в чорний колір по одній за раз, дотримуючись правила: після фарбування першої клітинки кожна щойно зафарбована клітинка має мати спільну сторону лише з тією клітинкою, яку зафарбували безпосередньо перед нею. У результаті зафарбована фігура буде зв'язною «змійкою» з клітинок. а. Покажіть, що можна зафарбувати 31 клітинку. б. Покажіть, що можна зафарбувати 32 клітинки. в. Покажіть, що можна зафарбувати 33 клітинки.
Шляхи на графах
Математичний гурток БеркліBMC-2000-028

Орієнтований граф із циклічним підпорядкуванням

У бюрократичній ієрархії Каліфорнійського університету в Берклі певні адміністратори підпорядковуються певним іншим адміністраторам. Виявилося, що якщо AA підпорядковується BB, а BB підпорядковується CC, то CC підпорядковується AA. Також адміністратори не підпорядковуються самі собі. Доведіть, що всіх адміністраторів можна поділити на три попарно неперетинні групи X,Y,ZX, Y, Z так, що якщо AA підпорядковується BB, то або AA належить XX, а BB належить YY, або AA належить YY, а BB належить ZZ, або AA належить ZZ, а BB належить XX.
Орієнтовані графи
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-005

Гамільтонів шлях у графі куба 3×3×3

Білдерт працює в кабінетику в офісі, що складається з 27 кабінетиків, розташованих у кубі 3×3×33 \times 3 \times 3. Будь-які два кабінетики зі спільною стіною мають з'єднувальні двері в цій стіні; наприклад, кутові кабінетики мають рівно 3 двері, тоді як центральний кабінетик — 6 дверей: по одних дверях у кожній стіні, а також на підлозі та на стелі. Якщо Білдерт починає з центрального кабінетика, чи зможе він відвідати кожен з решти 26 кабінетиків рівно один раз (тобто жодного кабінетика не відвідуючи вдруге)?
Шляхи на графах
Математичний гурток БеркліBMC-0000-049

Найдовший найкоротший шлях у графі кімнат

Будівля має сім кімнат з номерами від 11 до 77, усі на одному поверсі, і будь-яку кількість дверей, що з'єднують ці кімнати. Ці двері можуть бути односторонніми, які допускають рух лише в одному з двох напрямів, або двосторонніми. Крім того, між кімнатою 11 і надвором є двосторонні двері, а в кімнаті 77 є скарб. Ваша мета — вибрати розташування кімнат і розміщення дверей так, щоб a. можна було увійти до кімнати 11, дістатися до скарбу й повернутися назовні, b. мінімальна кількість кроків, необхідна для цього (кожен крок полягає в проході через двері), була якнайбільшою.
Шляхи на графах
Математичний гурток БеркліBMC-0000-145

Канібали, що їдять один одного, і вкладеність

Клуб канібалів Каліфорнії вчора вранці налічував 30 членів — але це було до їхнього святкового щорічного бенкету! Після бенкету виявилося, що серед будь-яких шести членів клубу знайшлася пара, один з яких з'їв іншого. Доведіть, що щонайменше шість членів клубу тепер вкладені один в одного.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-323

Ейлерів цикл без коротких циклів

Доведіть, що для достатньо великих простих чисел pp існує ейлерів цикл у повному графі з pp вершинами, який не містить жодного циклу довжини не більше 20232023.
Шляхи на графах
Інші змаганняMISC-0000-007

Остовний підграф непарного степеня

У країні Ейлерія є 1000 міст, і деякі пари міст з'єднано ґрунтовими дорогами. З будь-якого міста можна дістатися до будь-якого іншого, подорожуючи цими дорогами. Доведіть, що уряд Ейлерії може заасфальтувати деякі з доріг так, щоб з кожного міста виходила непарна кількість заасфальтованих доріг.
Степені вершин2 розв’язки
Інші змаганняMISC-0000-123

Короткий шлях між містами або два обов'язкові проміжні міста

Піражуба має 10 міст, які називаються H1,H2,…,H10H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{10}, і деякі з них сполучені дорогами з двостороннім рухом. Відомо, що з H1H_{1} можна дістатися до H10H_{10}. Доведіть, що виконується одна з наведених нижче ситуацій: (i) Існує шлях, що сполучає H1H_{1} з H10H_{10} і використовує не більше 3 доріг. (ii) Існують 2 міста HiH_{i} і Hj,2≤i<j≤9H_{j}, 2 \leq i<j \leq 9, такі, що будь-який шлях, що сполучає H1H_{1} з H10H_{10}, проходить через HiH_{i} або HjH_{j}.
Зв’язність
Інші змаганняMISC-0000-114

Цикл обмеженої довжини в графі

У певній країні є 1999 міст і 4000 доріг (кожна дорога з'єднує 2 міста). Доведіть, що існує замкнений шлях, який проходить не більше ніж через 20 міст.
Шляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-0000-043

Хід коня на дошці 5 на 5

На дошці 5×55 \times 5 шаховий кінь стоїть на клітинці, позначеній AA. Потім він ходить, позначаючи клітинки, через які проходить: A→B→C→D→E→F→G→HA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H. | AA | | | | GG | |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- | | | | HH | | | | | BB | | FF | | | | | DD | | | | CC | | | | EE | Починаючи з клітинки HH, кінь рухається по дошці, доки не побуває на всіх 25 клітинках. Опишіть маршрут, який він пройшов.
Шляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-0000-087

Найдовший замкнений маршрут мурахи по ребрах куба

Мураха вирушає з однієї вершини куба, рухаючись лише вздовж ребер, доки не повернеться до початкової вершини, не проходячи двічі через жодну вершину. Який найдовший маршрут може пройти ця мураха?
Шляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.