Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

294 задачі
КомбінаторикаСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-129

Ймовірність зустрічі в турнірі на вибування

Ава та Тіффані беруть участь у турнірі на вибування, у якому загалом 32 гравці. У кожному з 5 раундів гравці, які залишилися, об'єднуються в пари рівномірно випадковим чином. У кожній парі обидва гравці мають рівні шанси перемогти, а той, хто програв, вибуває з турніру. Ймовірність того, що Ава та Тіффані зіграють одна з одною протягом турніру, дорівнює ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-014

Сума площ під ґратковими шляхами

У сітці 33 на 33 з одиничних квадратиків шляхом вгору-вправо називається шлях з лівого нижнього кута до правого верхнього кута, який рухається лише вгору та вправо кроками по 11 одиниці. Для такого шляху pp нехай ApA_{p} позначає кількість одиничних квадратиків під шляхом pp. Обчисліть суму ApA_{p} за всіма шляхами вгору-вправо pp.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-097

Очікувана кількість пар до пари джокерів

У Маріо є колода із семи пар однакових числових карт і двох пар однакових джокерів, загалом 1818 карт. Він тасує колоду, а потім знімає карти зверху по одній, доки в нього не опиниться пара однакових джокерів. Математичне сподівання кількості повних пар, які Маріо матиме наприкінці (включно з джокерами), дорівнює mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиПравила суму та добутку
Відбіркові тести на IMOTST-2021-007

Гра з розміщенням пішаків на дошці

Прікл і Стінг грають у гру на дошці m×nm \times n, де mm і nn — натуральні числа. Вони ходять по черзі, причому першим ходить Прікл. Прікл своїм ходом повинен поставити пішака на клітинку, на якій пішака ще немає. Стінг своїм ходом також повинен поставити пішака на клітинку, на якій пішака ще немає, але додатково його пішак повинен стояти на клітинці, сусідній до клітинки, на яку Прікл поставив свого пішака попереднім ходом. Стінг виграє, щойно вся дошка буде повністю заповнена пішаками. Прікл виграє, якщо Стінг не може поставити пішака своїм ходом, тоді як на дошці залишається принаймні одна порожня клітинка. Визначте для всіх пар (m,n)(m, n) натуральних чисел, хто з Прікла та Стінга має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2021-011

Виграшна стратегія гри на прямокутній дошці

Стекел і Прік грають у гру на дошці m×nm \times n, де mm і nn — натуральні числа. Вони ходять по черзі, причому починає Стекел. Своїм ходом Стекел ставить пішака на клітинку, де ще немає пішака. Прік своїм ходом робить те саме, але його пішак завжди має потрапляти на клітинку, що спільною стороною межує з клітинкою, куди Стекел щойно поставив пішака своїм попереднім ходом. Прік перемагає, якщо вся дошка заповниться пішаками. Стекел перемагає, якщо Прік своїм ходом уже не може поставити пішака, хоча на дошці ще є принаймні одна порожня клітинка. Визначте для всіх пар (m,n)(m, n), хто має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-027

Гра на подільність з факторіалом

Повертаючись потягом з EGMOnd an Zee, Клара та Едвіга грають у таку гру. Спочатку ціле число n=1×2×⋯×20n=1 \times 2 \times \cdots \times 20 записане на аркуші паперу. Потім, по черзі, починаючи з Клари, гравчині замінюють ціле число nn одним із чисел kn/10k n / 10, де kk — ціле число від 1 до 9 включно. Перша гравчиня, яка запише число, що не є цілим, програє, а її суперниця виграє. Клара та Едвіга — дві грізні гравчині, тож грають оптимально. Яка з них виграє?
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-011

Оптимальна стратегія у грі з вибором карт

Нехай N>1N > 1. Аліса та Боб грають у таку гру. 2N2N карт, пронумерованих від 11 до 2N2N, перетасовують, а потім викладають у ряд так, щоб номери були видимі. По черзі Аліса та Боб вибирають карту — або крайню справа, або крайню зліва в ряду, — і забирають її собі, доки всі карти не буде розібрано. Аліса починає. Наприкінці гри кожен гравець обчислює суму номерів карт, які він забрав. Перемагає гравець з більшою сумою. Чи має котрийсь із гравців спосіб не програти?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-097

n-елементні підмножини з малим перетином

Нехай n>1n > 1 — натуральне число, а SS — набір з 12(2nn)\frac{1}{2}\binom{2n}{n} різних nn-елементних підмножин множини {1,2,…,2n}\{1,2, \ldots, 2n\}. Доведіть, що існують A,B∈SA, B \in S такі, що ∣A∩B∣≤1|A \cap B| \leq 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-022

Гра з квадратами та подільністю на 2021

Учителька Джейн написала на дошці числа 12,22,32,…,202021^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots, 2020^{2}. Вона пропонує таку гру: Аліса і Матіас мають по черзі витирати числа, по одному числу за хід, причому починає Матіас, доки на дошці не залишаться лише два числа. Якщо різниця між цими двома числами буде кратною 2021, перемагає Аліса, інакше перемагає Матіас. Визначте, хто завжди може гарантувати собі перемогу незалежно від гри суперника.
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-005

Уникнення непарного циклу в грі на графі

Девід і Джейкоб грають у гру зі з’єднання n≥3n \geq 3 точок, намальованих на площині. Жодні три з точок не лежать на одній прямій. Кожного свого ходу гравець вибирає дві точки, щоб з’єднати їх новим відрізком. Гравець, який першим завершить цикл, що складається з непарної кількості відрізків, програє гру. (Обидва кінці кожного відрізка в циклі мають бути серед nn заданих точок, а не точками, які виникають пізніше як перетини відрізків.) Якщо Девід ходить першим, визначте всі nn, для яких він має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-021

Послідовність різних цілих чисел зі складеним розбиттям

Розглянемо послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, що складаються з nn цілих чисел. Для заданого k≤nk \le n числа послідовності можна розбити на kk груп так: a1a_1 потрапляє до першої групи, a2a_2 — до другої групи і так далі аж до aka_k, яке потрапляє до kk-ї групи. Далі ak+1a_{k+1} знову потрапляє до першої групи, ak+2a_{k+2} — до другої групи і так далі. Послідовність називається kk-складеною, якщо за такого розбиття суми чисел у kk групах рівні. Послідовність 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8, наприклад, є 4-складеною, оскільки 1+(−2)+17=2+6+8=3+13=4+12.1 + (-2) + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12. Однак ця послідовність не є 3-складеною, оскільки суми 1+4+13+81 + 4 + 13 + 8, 2+(−2)+122 + (-2) + 12 і 3+6+173 + 6 + 17 дають неоднакові результати. a. Наведіть послідовність із 6 різних цілих чисел, яка є одночасно 2-складеною і 3-складеною. b. Наведіть послідовність із 7 різних цілих чисел, яка є 2-складеною, 3-складеною і 4-складеною. c. Знайдіть найбільше k≤99k \le 99, для якого існує послідовність із 99 різних цілих чисел, яка є kk-складеною. (Наведіть приклад такої послідовності та доведіть, що для більших значень kk такої послідовності не існує.)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-005

Гра з картками на подільність різниці сум на 3

Томас і Нільс грають у гру. У них є кілька карток, пронумерованих 11, 22, 33 і так далі. На початку всі картки лежать на столі горілиць. Вони ходять по черзі. Гравець, чия черга ходити, вибирає картку, яка ще лежить на столі, і вирішує або залишити її собі, або віддати іншому гравцеві. Коли всі картки розібрано, кожен з них обчислює суму чисел на своїх картках. Якщо різниця між цими двома сумами ділиться на 33, то перемагає Томас. Інакше перемагає Нільс. a. Припустімо, що вони грають із 20182018 картками (пронумерованими від 11 до 20182018) і що починає Томас. Доведіть, що Нільс може грати так, щоб напевно виграти гру. b. Припустімо, що вони грають із 20202020 картками (пронумерованими від 11 до 20202020) і що починає Нільс. Хто з двох гравців може грати так, щоб напевно виграти?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-016

Сума дійсних розв’язків рівняння з косинусом

Знайдіть суму всіх дійсних розв’язків рівняння x2+cos⁡x=2019x^{2} + \cos x = 2019.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-143

Гра з фарбуванням монет за оптимальної гри

Рейму та Санае грають у гру з 4 чесними монетами. Спочатку обидва боки кожної монети білі. Починаючи з Рейму, вони по черзі фарбують один із білих боків у червоний або зелений колір. Після того як усі боки пофарбовано, 4 монети підкидають. Якщо червоних боків випало більше, то перемагає Рейму, а якщо більше зелених боків, то перемагає Санае. Якщо ж червоних і зелених боків випало порівну, то не перемагає ніхто. Відомо, що обидві гравчині грають оптимально, щоб максимізувати ймовірність власної перемоги. Яка ймовірність того, що переможе Рейму?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-096

Ймовірність на кубику, що розширюється

У Кейті є чесний 2019-гранний кубик із гранями, позначеними 1,2,…,20191, 2, \ldots, 2019. Після кожного кидка вона замінює свій nn-гранний кубик на (n+1)(n+1)-гранний кубик, який має nn граней її попереднього кубика та додаткову грань із числом, що щойно випало. Яка ймовірність того, що 2019й2019^{\text{й}} кидок Кейті буде 2019?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-059

Випадкове блукання з геометричними стрибками

Жабеня Келвін живе у ставку з нескінченною кількістю листків латаття, пронумерованих 0,1,2,30, 1, 2, 3, і так далі. Келвін починає на лататті 00 і стрибає з латаття на латаття в такий спосіб: перебуваючи на лататті ii, він стрибає на латаття (i+k)(i+k) з імовірністю 12k\frac{1}{2^{k}} для k>0k > 0. Яка ймовірність того, що Келвін у якийсь момент своєї подорожі потрапить на латаття 20192019?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-084

Випадкові точки в кубі

Три точки вибрано всередині одиничного куба рівномірно й незалежно навмання. Яка ймовірність того, що існує куб зі стороною 12\frac{1}{2} і ребрами, паралельними ребрам одиничного куба, який містить усі три точки?
10–11 класиПравила суму та добутку
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-002

Вільна від сум підмножина послідовних чисел

Нехай nn — ціле число, більше ніж 22. Потрібно пофарбувати в червоний колір рівно n+1n+1 з чисел 1,2,⋯ ,2n−1,2n1, 2, \cdots, 2n-1, 2n так, щоб не існувало трьох різних чисел x,y,zx, y, z, пофарбованих у червоний колір, які задовольняють рівність x+y=zx+y=z. Доведіть, що існує єдиний спосіб вибрати числа для фарбування в червоний колір, який задовольняє дану умову.
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-018

Гра в доміно на дошці 2 на 2018

Адальберт і Бабетта грають у доміно на прямокутній сітці висотою 2 клітинки та шириною 2018 клітинок. Адальберт починає, кладучи доміно розміру 1×21 \times 2 горизонтально так, щоб воно покривало рівно дві клітинки сітки. Потім Бабетта так само кладе доміно 1×21 \times 2 вертикально, і так далі. Той, хто першим не зможе зробити хід, не перекривши вже покладене доміно, програв. Доведіть, що Адальберт має виграшну стратегію.
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-035

Пари з однаковою сумою та повторення значень

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Дано 2n2 n кульок. На кожній з цих кульок написано число. Припускається, що щоразу, коли кульки групують у nn пар, дві з цих пар мають однакову суму. a. Доведіть, що на чотирьох із цих кульок написано однакове число. b. Доведіть, що кількість різних значень, написаних на кульках, є ⩽n−1\leqslant n-1.
9–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-033

Математичне сподівання квадрата модуля суми випадкових коренів

Майкл вибирає випадкову підмножину комплексних чисел {1,ω,ω2,…,ω2017}\{1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{2017}\}, де ω\omega — первісний корінь 2018-го2018^{\text{-го}} степеня з одиниці, причому всі підмножини мають однакову ймовірність бути обраними. Якщо сума елементів його підмножини дорівнює SS, чому дорівнює математичне сподівання ∣S∣2|S|^{2}? (Сума елементів порожньої множини дорівнює 0.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-010

Гра з вибором цифр за модулем простого числа

Нехай p≥2p \geq 2 — просте число. Луї та Арно по черзі вибирають індекс i∈{0,1,…,p−1}i \in \{0,1, \ldots, p-1\}, якого досі ще не було вибрано, і цифру ai∈{0,1,…,9}a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9\}. Починає Луї. Коли всі індекси буде вибрано, вони обчислюють таку суму: a0+a1⋅10+…+ap−1⋅10p−1=∑i=0p−1ai⋅10ia_{0}+a_{1} \cdot 10+\ldots+a_{p-1} \cdot 10^{p-1}=\sum_{i=0}^{p-1} a_{i} \cdot 10^{i} Якщо ця сума ділиться на pp, то виграє Луї, інакше виграє Арно. Доведіть, що Луї має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-003

Збалансовані підмножини з рівністю медіани й середнього

Нехай nn — натуральне число, і позначимо Sn={1,2,…,n}S_n = \{1, 2, \dots, n\}. Розглянемо непорожню підмножину TT множини SnS_n. Будемо казати, що TT збалансована, якщо медіана множини TT дорівнює середньому арифметичному TT. Наприклад, при n=9n = 9 кожна з підмножин {7}\{7\}, {2,5}\{2, 5\}, {2,3,4}\{2, 3, 4\}, {5,6,8,9}\{5, 6, 8, 9\} і {1,4,5,7,8}\{1, 4, 5, 7, 8\} збалансована; проте підмножини {2,4,5}\{2, 4, 5\} і {1,2,3,5}\{1, 2, 3, 5\} не є збалансованими. Для кожного n≥1n \ge 1 доведіть, що кількість збалансованих підмножин множини SnS_n непарна. (Щоб означити медіану множини з kk чисел, спочатку впорядкуйте числа за зростанням; тоді медіаною є середнє число, якщо kk непарне, і середнє арифметичне двох середніх чисел, якщо kk парне. Наприклад, медіана множини {1,3,4,8,9}\{1, 3, 4, 8, 9\} дорівнює 44, а медіана множини {1,3,4,7,8,9}\{1, 3, 4, 7, 8, 9\} дорівнює (4+7)/2=5.5(4+7)/2 = 5.5.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-061

Найбільша підмножина двоцифрових чисел без друзів

Нехай SS — множина двоцифрових чисел, які не містять цифри 00. Два числа з SS називаються друзями, якщо їхні найбільші цифри рівні, а різниця між їхніми найменшими цифрами дорівнює 11. Наприклад, 6868 і 8585 — друзі, 7878 і 8888 — друзі, а 5858 і 7575 — не друзі. Визначте найбільше ціле число mm таке, що існує підмножина TT множини SS, яка має mm елементів, причому жодні два елементи TT не є друзями.
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-029

Перетинні підмножини скінченної множини

Нехай A1,A2,…,AmA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m} — різні підмножини множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} такі, що для всіх 1⩽i,j⩽m1 \leqslant i, j \leqslant m виконується Ai∩Aj≠∅A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset. Доведіть, що m⩽2n−1m \leqslant 2^{n-1}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.